軌道の解析解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/18 01:31 UTC 版)
軌道の一般解を以下に示す。 u ( θ ) = 1 r ( θ ) = u 0 cos ( θ − θ 0 ) − κ {\displaystyle u(\theta )={\frac {1}{r(\theta )}}=u_{0}\cos(\theta -\theta _{0})-\kappa } 境界条件より以下の定数が求まる。 θ 0 = π 2 + Θ 2 {\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\Theta }{2}}} u 0 = 1 b sin ( θ − θ 0 ) {\displaystyle u_{0}={\frac {1}{b\sin(\theta -\theta _{0})}}} これらを代入して変形すると、軌道の一般解は r ( θ ) = b cos Θ 2 sin ( θ − Θ 2 ) − sin Θ 2 {\displaystyle r(\theta )={\frac {b\cos {\frac {\Theta }{2}}}{\sin(\theta -{\frac {\Theta }{2}})-\sin {\frac {\Theta }{2}}}}} となる。ここで Θ 2 = arctan ( b k ) {\displaystyle {\frac {\Theta }{2}}=\arctan(bk)} である。また、陰関数表示では以下のようになる。 x 2 + y 2 = ( x − y / ( b k ) + 1 / k ) 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x-y/(bk)+1/k)^{2}}
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