群、正規部分群、イデアルの合同
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/22 16:28 UTC 版)
「合同関係」の記事における「群、正規部分群、イデアルの合同」の解説
特に群の場合には、合同関係は以下のように初等的な言葉で記述することができる：G が（単位元 e と演算 * をもった）群で ~ が G 上の二項関係であれば、~ は次が成り立つときにはいつでも合同である： G の任意の元 a が与えられると（英語版）、a ~ a （反射性 (reflexivity)）； G の任意の元 a と b が与えられると、a ~ b であれば b ~ a である（対称性 (symmetry)）； G の任意の元 a, b, c が与えられると、a ~ b かつ b ~ c であれば a ~ c である（推移性 (transitivity)）； G の任意の元 a, a' , b, b' が与えられると、a ~ a' かつ b ~ b' であれば、a * b ~ a' * b' である； G の任意の元 a と a' が与えられると、a ~ a' であれば、a−1 ~ a' −1 である（これは実は他の 4 つから証明できるので、真に冗長である）。 条件 1, 2, 3 は ~ が同値関係であると言っている。 合同 ~ は単位元に合同な G の元の集合 {a ∈ G : a ~ e} によって完全に決定される。そしてこの集合は正規部分群である。具体的には、a ~ b であるのは b−1 * a ~ e であるとき、かつそのときに限る。なので群の合同について話す代わりに、群の正規部分群の言葉で普通話す。実は、すべての合同は G のある正規部分群に一意的に対応する。
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