異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:51 UTC 版)
「ヘルダー平均」の記事における「異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式」の解説
一般に -∞ ≤ p < q ≤ +∞ ならば M p ( x 1 , … , x n ) ≤ M q ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})} である。また2つの平均が等しいのは x1 = x2 = ⋯ = xn のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 p に対して ∂ ∂ p M p ( x 1 , … , x n ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0} が成り立つためである。 特に p = -1, 0, 1 の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均 n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ 1 x n ≤ x 1 x 2 ⋯ x n n ≤ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots {}x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}} を意味する。
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