ヘルダー平均

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ヘルダー平均

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/21 08:33 UTC 版)

ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、英語: Hölder mean）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、英語: generalized mean）、とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。

定義

p を0でない実数とする。正の実数 x₁, ... , x_n に対して指数 p のヘルダー平均は次で定義される：

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}$

n = 2、a = x₁ = M_∞, b = x₂ = M_−∞の場合の図示。

  調和平均、H = M₋₁(a, b),

  幾何平均、G = M₀(a, b)

  算術平均、A = M₁(a, b)

  二乗平均、Q = M₂(a, b)

いくつかの特定の p の値に対しては、特別の名前が付けられている。

最小値

$M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$