正二百五十五角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 03:27 UTC 版)
正二百五十五角形においては、中心角と外角は1.411…°で、内角は178.588…°となる。一辺の長さが a の正二百五十五角形の面積 S は S = 255 4 a 2 cot π 255 ≃ 5174.26329 a 2 {\displaystyle S={\frac {255}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{255}}\simeq 5174.26329a^{2}} cos ( 2 π / 255 ) {\displaystyle \cos(2\pi /255)} は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。 cos 2 π 255 = cos ( π 15 − π 17 ) = cos π 15 cos π 17 + sin π 15 sin π 17 = 1 8 ( − 1 + 5 + 30 + 180 ) ⋅ cos π 17 + 1 8 ( + 3 − 15 + 10 + 20 ) ⋅ sin π 17 = 1 8 ( − 1 + 5 + 30 + 180 ) ⋅ 1 16 ( + 1 − 17 + 34 − 68 + 68 + 2448 + 2720 + 6284288 ) + 1 8 ( + 3 − 15 + 10 + 20 ) ⋅ 1 8 ( 34 − 68 − 136 − 1088 − 272 + 39168 − 43520 + 1608777728 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{255}}=&\cos \left({\frac {\pi }{15}}-{\frac {\pi }{17}}\right)\\&=\cos {\frac {\pi }{15}}\cos {\frac {\pi }{17}}+\sin {\frac {\pi }{15}}\sin {\frac {\pi }{17}}\\&={\frac {1}{8}}\left({-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30+{\sqrt {180}}}}}\right)\cdot \cos {\frac {\pi }{17}}+{\frac {1}{8}}\left({+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {10+{\sqrt {20}}}}}\right)\cdot \sin {\frac {\pi }{17}}\\&={\frac {1}{8}}\left({-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30+{\sqrt {180}}}}}\right)\cdot {\frac {1}{16}}\left({+1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}\right)+{\frac {1}{8}}\left({+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {10+{\sqrt {20}}}}}\right)\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {34-{\sqrt {68}}-{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}\right)\\\end{aligned}}} 255 = 16 2 − 1 = ( 16 + 1 ) ( 16 − 1 ) = ( 16 + 1 ) ( 4 + 1 ) ( 4 − 1 ) = ( 16 + 1 ) ( 4 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 2 − 1 ) = 17 ⋅ 5 ⋅ 3 {\displaystyle 255=16^{2}-1=(16+1)(16-1)=(16+1)(4+1)(4-1)=(16+1)(4+1)(2+1)(2-1)=17\cdot 5\cdot 3}
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