さいそく‐こうかきょくせん〔‐カウカキヨクセン〕【最速降下曲線】
最速降下曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/14 02:20 UTC 版)
最速降下曲線（さいそくこうかきょくせん、英: Brachistochrone curve）は、任意の2点間を結ぶ全ての曲線のうちで、曲線上に軌道を束縛された物体に対して重力 (に代表される保存力) のみが作用する仮定の下、物体が速度0でポテンシャルが高い方の点を出発してからもう一方の点に達するまでの所要時間がもっとも短いような曲線である。
最速降下曲線はサイクロイドである。AとBが与えられAがBよりも高いとき、Aを無限斜面で通り、またBも通りAとBの間で最大値をとらない上下逆のサイクロイドがひとつだけある。これが最速降下曲線である。したがって最速降下曲線は物体の重さと重力定数の強さにはよらない。この問題は変分法を使って解くことが出来る。 注意すべきは、Aで初速度があったり、摩擦が考慮されていると時間を最小にする曲線は上記の曲線から外れることである。
サイクロイドであることの証明
フェルマーの原理より、2点間で光のビームが通る実際の道筋は、最短の時間で光が横切るものである。したがって最速降下曲線は、光が媒質の中で垂直方向の加速を受けるとき（gを重力加速度とする）の光のビーム軌道である。エネルギー保存の法則を用いれば、h を現在の位置とはじめの位置との高さの差とすると、物体が一定の重力の中にあるときその速度は
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