接続係数と共変微分の局所表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:14 UTC 版)
「共変微分」の記事における「接続係数と共変微分の局所表示」の解説
座標系 (xh) に関し、n3 個の C∞ 関数 Γ i j k {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}} （1 ≦ i, j, k ≦ n）を ∇ i ∂ ∂ x j ( = ∇ ∂ ∂ x i ∂ ∂ x j ) = ∑ k Γ i j k ∂ ∂ x k {\displaystyle \nabla _{i}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\left(=\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}} によって定義する。この関数の集まり { Γ i j k } {\displaystyle \left\{\Gamma _{ij}^{k}\right\}} を、共変微分 ∇ {\displaystyle \nabla } の { ∂ ∂ x i } {\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right\}} に関する接続係数 (connection coefficients) と呼ぶ。 ここで、ベクトル場 X = ∑ X i ∂ ∂ x i , Y = ∑ Y i ∂ ∂ x i {\displaystyle X=\sum X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\;\;\;Y=\sum Y^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} に対して、X による Y の共変微分 ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} は共変微分の規則を用いて展開することで、 ∇ X Y = ∑ i , j X i ∇ i Y j ∂ ∂ x j {\displaystyle \nabla _{X}Y=\sum _{i,j}X^{i}\nabla _{i}Y^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}} ただし、ここで ∇ i Y j = ∂ Y j ∂ x i + ∑ k Γ i k j Y k {\displaystyle \nabla _{i}Y^{j}={\frac {\partial Y^{j}}{\partial x^{i}}}+\sum _{k}\Gamma _{ik}^{j}Y^{k}} という表現、すなわち共変微分の局所表現を得る。 さらに、接続係数の定義と微分形式に対する共変微分の定義から ⟨ ∇ k d x i , ∂ ∂ x j ⟩ = ∂ δ j i ∂ x k − ⟨ d x i , ∇ k ∂ ∂ x j ⟩ = − ⟨ d x i , ∑ l Γ k j l ∂ ∂ x l ⟩ = − ∑ l Γ k j l δ l i = − Γ k l i {\displaystyle \left\langle \nabla _{k}\mathrm {d} x^{i},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right\rangle ={\frac {\partial \delta _{j}^{i}}{\partial x^{k}}}-\left\langle \mathrm {d} x^{i},\nabla _{k}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right\rangle =-\left\langle \mathrm {d} x^{i},\sum _{l}\Gamma _{kj}^{l}{\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\right\rangle =-\sum _{l}\Gamma _{kj}^{l}\delta _{l}^{i}=-\Gamma _{kl}^{i}} が導かれることから、双対基底と接続係数の関係 ∇ k d x i = − ∑ j Γ k j i d x j {\displaystyle \nabla _{k}\mathrm {d} x^{i}=-\sum _{j}\Gamma _{kj}^{i}\mathrm {d} x^{j}} が得られる。したがって、微分形式 W = ∑ i W i d x i {\displaystyle W=\sum _{i}W_{i}\mathrm {d} x^{i}} のベクトル場 X による共変微分の局所表現は、 ∇ k W i = ∂ W i ∂ x k − ∑ j Γ k i j W j {\displaystyle \nabla _{k}W_{i}={\frac {\partial W_{i}}{\partial x^{k}}}-\sum _{j}\Gamma _{ki}^{j}W_{j}} となる。
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