実関数としての指数積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/19 02:08 UTC 版)
実数 x≠0 に対し指数積分 Ei(x) は次のように定義される。 Ei ( x ) = − p . v . ∫ − x ∞ e − t t d t = p . v . ∫ − ∞ x e t t d t {\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\operatorname {p.\!v.} \int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t=\operatorname {p.\!v.} \int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t} ただし p.v. はコーシーの主値を表す。以下、本稿ではこれを Eireal(x) で表す。 E i r e a l ( x ) = lim ϵ → + 0 ( − ∫ − x − ϵ e − t t d t − ∫ ϵ ∞ e − t t d t ) ( x > 0 ) E i r e a l ( x ) = − ∫ − x ∞ e − t t d t ( x < 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {{Ei}^{real}} (x)&=\lim _{\epsilon \to +0}\left(-\int _{-x}^{-\epsilon }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t\right)\quad &(x>0)\\\operatorname {{Ei}^{real}} (x)&=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t\quad &(x<0)\end{aligned}}}
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