σ集合環とは？わかりやすく解説

数学における σ-集合環（シグマしゅうごうかん、英: σ-ring [of sets]）あるいは σ-環は、 $σ$ -集合代数（あるいはトライブ^[1]）より少し一般の定義を持つ集合族で、今日では $σ$ -集合代数によって展開されることの多い測度論は、 $σ$ -集合環を用いて定式化することもできる。

定義、例、性質

定義: 集合 X 上の $σ$ -集合環とは、可算合併に関して閉じている集合環を言う^[2]

任意の $σ$ -集合代数は $σ$ -集合環である。集合代数が全体集合 $X$ を含む集合環であったと同様に、σ-集合代数は全体集合 $X$ を含む $σ$ -集合環を言う。
有限集合上の集合環は $σ$ -集合環になる。集合代数を成さない有限集合上の集合環は、 $σ$ -集合代数でない $σ$ -集合環の例を与える。例えば二元集合 ${a, b}$ の集合環 ${\emptyset, {a}}$ は $σ$ -集合環だが $σ$ -集合代数でない。
任意の集合 $X$ 上の高々可算な部分集合全体の成す族 $Ρ$ は $σ$ -集合環であり、これが生成する $σ$ -集合代数 $Σ$ は
$\Sigma =\{A\in {\mathcal {P}}(X)\mid A{\text{ or }}A^{c}\in \mathrm {P} \}$

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σ集合環

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