半正定値計画緩和とは？わかりやすく解説

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半正定値計画緩和

読み方：はんせいていちけいかくかんわ
【英】：semidefinite programming relaxation

組合せ最適化問題または非凸2次計画問題を半正定値計画で緩和すること．典型的な例としては，問題 $\mathop{\mbox{min.}} x^{\top}Qx\ \mbox{s.t.}\ x \in \{-1, 1\}^n$ （ $Q$ は $n\times n$ 行列）を $\mathop{\mbox{min.}}\ \mbox{trace}(QX)\ \mbox{s.t.}\ X=xx^{\top},\ x\in\{-1, 1\}^n$ と表現し，この制約を $X$ が実対称半正定値の行列で，対角成分が $1$ 以下というより緩い制約に置き換える．置き換えた後の問題は半正定値計画となる．半正定値緩和は理論的にも有力な下界を与えることが知られている．

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