分布関数の粗視化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/12 06:17 UTC 版)
物理学ではよく粗視化された分布関数が用いられる。厳密な（粗視化されていない）分布関数 f {\displaystyle \left.f\right.} に対し、粗視化された分布関数 F {\displaystyle \left.F\right.} は次で定義される。 F = 1 A δ Γ ∫ δ Γ f d Γ {\displaystyle F={\frac {1}{A_{\delta \Gamma }}}\int _{\delta \Gamma }fd\Gamma } ここで δ Γ {\displaystyle \left.\delta \Gamma \right.} は粗視化の領域であり、2次元ならば A δ Γ {\displaystyle \left.A_{\delta \Gamma }\right.} はその面積、 d Γ {\displaystyle \left.d\Gamma \right.} は面積素である。 例えば、統計力学でエントロピーの計算をする際に位相空間を細胞に分割する操作は F ( p , x ) = 1 Δ p Δ x ∫ p j p j + Δ p ∫ x i x i + Δ x f ( p ¯ , x ¯ ) d p ¯ d x ¯ {\displaystyle F(p,x)={\frac {1}{\Delta p\Delta x}}\int _{p_{j}}^{p_{j}+\Delta p}\int _{x_{i}}^{x_{i}+\Delta x}f({\bar {p}},{\bar {x}})d{\bar {p}}d{\bar {x}}} 但し p j ≤ p < p j + 1 , x i ≤ x < x i + 1 {\displaystyle p_{j}\leq p<p_{j+1},\ x_{i}\leq x<x_{i+1}} 等の様に書けるだろう。この粗視化された分布関数に対してエントロピー S [ F ] {\displaystyle \left.S[F]\right.} が定義される。 S [ F ] = − k B ∫ F ln F d p d x {\displaystyle S[F]=-k_{B}\int F\ln F\ dpdx} ここで k B {\displaystyle \left.k_{B}\right.} はボルツマン定数である。
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