偏導関数に関する「微積分学の基本定理」
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
「多変数の微分」の記事における「偏導関数に関する「微積分学の基本定理」」の解説
D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、 h {\displaystyle h} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された多変数スカラー値関数とする。 p {\displaystyle {\textbf {p}}} を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とする。（つまり、 p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} ） a {\displaystyle {\textbf {a}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} のベクトルとする。（ a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} でもよい。）このとき、 ∫ s = 0 s = 1 ( ( ∂ [ a ] h ) ( s a + p ) ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left(\left({{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h\right)(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right)ds}} = h ( a + p ) − h ( p ) {\displaystyle h(\mathbf {a} +\mathbf {p} )-h(\mathbf {p} )} (6-2-1) が成立する。但し、 0 ≤ s ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s\leq 1} を充たす全ての s {\displaystyle s} に対して、 ( s a + p ) ∈ D {\displaystyle (s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\in {\textbf {D}}} (6-2-2)が成り立っているものとする。 以下、(6-2-1)を示す。まず、 h ∘ l [ a , p ] ( s ) = h ( s a + p ) {\displaystyle h\circ l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(s)=h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )} (6-2-3) で、 ∂ [ a ] h ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h(\mathbf {x} )=} ( d ( h ∘ l [ a , p ] ) d s ) {\displaystyle \left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)} (6-2-4)である。但し、 l [ a , p ] {\displaystyle {{l}_{[\mathbf {a} ,{\mathbf {p} }]}}} は、(1-9)同様、 l [ a , p ] ( s ) = s a + p {\displaystyle {{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}(s)=s\mathbf {a} +\mathbf {p} } (6-2-5) である。 (6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、 ∫ s = 0 s = 1 ( d ( h ∘ l [ a , p ] ) d s ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)ds}} = [ h ( s a + p ) ] s = 0 s = 1 {\displaystyle \left[h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right]_{s=0}^{s=1}} (6-2-5) 従って、(6-2-1)が分かる。
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