伊藤積分の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/02 05:46 UTC 版)
確率過程 Y t {\displaystyle Y_{t}} の区間 [ 0 , t ] {\displaystyle [0,t]} におけるウィーナー過程 B t {\displaystyle B_{t}} に関する積分を ∫ 0 t Y s d B s = ∑ i = 1 n − 1 Y ( t i − 1 ) ( B ( t i ) − B ( t i − 1 ) ) + Y ( t n − 1 ) ( B ( t ) − B ( t n − 1 ) ) {\displaystyle \int _{0}^{t}Y_{s}\,dB_{s}=\sum _{i=1}^{n-1}Y(t_{i-1})(B(t_{i})-B(t_{i-1}))+Y(t_{n-1})(B(t)-B(t_{n-1}))} の分割 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t n − 1 < t n = t {\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=t} を細かくした極限で定義する。関数 Y t {\displaystyle Y_{t}} は、よい性質（可測で、 B t {\displaystyle B_{t}} が適合する増大情報系に適合し、局所二乗可積分）を持っているものとする。一見、リーマン積分と似た定義である。しかし、区間 t i − 1 ≤ t < t i {\displaystyle t_{i-1}\leq t<t_{i}} のどの t {\displaystyle t} で Y ( t ) {\displaystyle Y(t)} を評価してもリーマン積分は定義できるのに対し、伊藤積分は区間の左端 Y ( t i − 1 ) {\displaystyle Y(t_{i-1})} を用いる。この和は、分割の仕方によらず、分割を小さくする極限で一定の値に収束することが示される。
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