二項関係に対する操作
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/02 03:27 UTC 版)
R が X と Y の上の二項関係ならば、次のような Y と X 上の二項関係が定まる： 逆 (inverse, converse) R−1 R−1 := {(y, x) | (x, y) ∈ R}. ある集合上の二項関係がその逆関係と一致することと、その関係が対称であることとは同値である（順序の双対性（英語版）を参照）。 R が X 上の二項関係ならば、次のような X 上の二項関係が定義される： 反射閉包 (reflexive closure) R= R= := {(x, x) | x ∈ X} ∪ R; あるいは R を含む最小の反射関係。これは R を含む反射関係全ての交わりに等しい。 反射還元 (reflexive reduction) R≠ R≠ := R ∖ {(x, x) | x ∈ X}; あるいは X 上の R に含まれる最大の非反射関係。 推移閉包 transitive closure) R+ R を含む X の最小の推移関係。これは、R を含む推移関係全ての交わりに等しい。 推移還元 (transitive reduction) R− R と同じ推移閉包を持つ最小の関係。 反射推移閉包 (reflexive transitive closure) R∗ R∗ := (R+)=; R を含む最小の前順序（擬順序; preorder）。 反射推移対称閉包 (reflexive transitive symmetric closure) R≡ X 上の R を含む最小の同値関係。 R と S がともに X と Y 上の二項関係ならば、次のような関係が定義できる： 結び（和、union）R ∪ S R ∪ S := {(x, y) | (x, y) ∈ R または (x, y) ∈ S}. 交わり（積、intersection）R ∩ S R ∩ S := {(x, y) | (x, y) ∈ R かつ (x, y) ∈ S}. R が X と Y の上の二項関係で、S が Y と Z の上の二項関係ならば、次のような X と Z 上の二項関係が定まる： 合成 (Composition) S ∘ R S ∘ R := {(x, z) | (x, y) ∈ R かつ (y, z) ∈ S となるような y ∈ Y が存在する}. ここで用いた R と S の順番（合成順とは逆順）は写像の合成の標準的な記法と一致する。正順に書く記法として R ; S または R⨟S と（あるいは少し紛らわしいが R ∘ S とも）書くことがある。
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