並進対称性と規格化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/04 14:40 UTC 版)
ブロッホの定理により、並進によって結晶の波動関数は位相因子分しか変わらない。 ψ ( r + R ℓ ) = e i k ⋅ R ℓ ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}}_{\ell })=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{\ell }}\psi ({\boldsymbol {r}})} ここで k は波動関数の波数ベクトルである。したがって、上の線形結合の係数は以下の式を満たす。 ∑ m , R n b m ( R n ) φ m ( r − R n + R ℓ ) = e i k ⋅ R ℓ ∑ m , R n b m ( R n ) φ m ( r − R n ) {\displaystyle \sum _{m,{\boldsymbol {R}}_{n}}b_{m}({\boldsymbol {R_{n}}})~\varphi _{m}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n}+{\boldsymbol {R}}_{\ell })=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{\ell }}\sum _{m,{\boldsymbol {R}}_{n}}b_{m}({\boldsymbol {R_{n}}})~\varphi _{m}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n})} R p = R n − R ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{p}={\boldsymbol {R}}_{n}-{\boldsymbol {R}}_{\ell }} のように置き換えると、 b m ( R p + R ℓ ) = e i k ⋅ R ℓ b m ( R p ) {\displaystyle b_{m}({\boldsymbol {R}}_{p}+{\boldsymbol {R}}_{\ell })=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{\ell }}b_{m}({\boldsymbol {R}}_{p})} （ここで右辺はダミー添字 R n {\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{n}} を R p {\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{p}} で置き換えてある） または b m ( R p ) = e i k ⋅ R p b m ( 0 ) {\displaystyle b_{m}({\boldsymbol {R}}_{p})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{p}}b_{m}({\boldsymbol {0}})} 波動関数を規格化する。波動関数のノルムは、 ∫ d 3 r ψ ∗ ( r ) ψ ( r ) = ∑ R n b ∗ ( R n ) ∑ R ℓ b ( R ℓ ) ∫ d 3 r φ ∗ ( r − R n ) φ ( r − R ℓ ) = b ∗ ( 0 ) b ( 0 ) ∑ R n e − i k ⋅ R n ∑ R ℓ e i k ⋅ R ℓ ∫ d 3 r φ ∗ ( r − R n ) φ ( r − R ℓ ) = N b ∗ ( 0 ) b ( 0 ) ∑ R p e − i k ⋅ R p ∫ d 3 r φ ∗ ( r − R p ) φ ( r ) = N b ∗ ( 0 ) b ( 0 ) ∑ R p e i k ⋅ R p ∫ d 3 r φ ∗ ( r ) φ ( r − R p ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{3}r~\psi ^{*}({\boldsymbol {r}})\psi ({\boldsymbol {r}})&=\sum _{{\boldsymbol {R}}_{n}}b^{*}({\boldsymbol {R}}_{n})\sum _{{\boldsymbol {R}}_{\ell }}b({\boldsymbol {R}}_{\ell })\int d^{3}r~\varphi ^{*}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n})\varphi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{\ell })\\&=b^{*}(0)b(0)\sum _{{\boldsymbol {R}}_{n}}e^{-i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}\sum _{{\boldsymbol {R}}_{\ell }}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{\ell }}\int d^{3}r~\varphi ^{*}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n})\varphi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{\ell })\\&=Nb^{*}(0)b(0)\sum _{{\boldsymbol {R}}_{p}}e^{-i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{p}}\int d^{3}r~\varphi ^{*}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{p})\varphi ({\boldsymbol {r}})\\&=Nb^{*}(0)b(0)\sum _{{\boldsymbol {R}}_{p}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{p}}\int d^{3}r~\varphi ^{*}({\boldsymbol {r}})\varphi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{p})\end{aligned}}} よって規格化条件より b(0) は次のように定まる。 b ∗ ( 0 ) b ( 0 ) = 1 N 1 1 + ∑ R p ≠ 0 e i k ⋅ R p α ( R p ) {\displaystyle b^{*}(0)b(0)={\frac {1}{N}}{\frac {1}{1+\sum _{{\boldsymbol {R}}_{p}\neq {\boldsymbol {0}}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{p}}\alpha ({\boldsymbol {R}}_{p})}}} α (Rp ) は原子重なり積分で、しばしば無視されて次のように近似される。 b n ( 0 ) ≈ 1 N {\displaystyle b_{n}(0)\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}} すると波動関数は以下のようになる。 ψ ( r ) ≈ 1 N ∑ m , R n e i k ⋅ R n φ m ( r − R n ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{m,{\boldsymbol {R}}_{n}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}\varphi _{m}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n})}
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