底に関する指数函数

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底に関する指数函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/08 03:00 UTC 版)

実解析における底 a の指数函数（しすうかんすう、英: exponential of base a）exp_a は、実数 x を実数 a^x へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは a が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された n を aⁿ へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、$\exp _{a}(x)=a^{x}=e^{x\ln(a)}$ と書くことができる。a を底とする指数函数を、1 において値 a をとり、和を積に変換する、ℝ 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを逆対数函数（真数函数）と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の ℝ 上の可微分函数である。