ヴァイルの定理 (幾何学)

ウィキペディア

ヴァイルの定理 (幾何学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/16 17:52 UTC 版)

n=3におけるポンスレの閉形定理

このページ名「ヴァイルの定理 (幾何学)」は暫定的なものです。（2024年5月）

幾何学において、ヴァイルの定理（ヴァイルのていり、英:Weill's theorem）とは、多角形の外接円と内接円に関する定理である^[1][2][3][4]。ヴァイル・リウヴィル（Weill Liouville）に因んで名付けられた^[5]。

定理

nを3以上の整数とする。ポンスレの閉形定理（英語版）によれば、ある2円を外接円、内接円とするn角形が一つあれば、そのようなn角形は無数に存在する^[6]。このとき、n角形の辺と内接円の接点が成す多角形の幾何中心は一定である。これをヴァイルの定理と言う。また、その点はヴァイル点（Weill point）と呼ばれる。

1888年、Caseyはn個の接点のうちm個（mは、n≧m>0を満たす整数）の点の幾何中心の軌跡は定円であることを発見した^[1][3]。ヴァイル点はn=mの場合である。

三角形のヴァイル点

三角形のヴァイル点は、接触三角形の重心として定義される（三角形の重心は幾何中心と一致する）。Encyclopedia of Triangle centersでは三角形の中心としてX(354)に登録されている。ヴァイル点WはOI線上に存在し、ヴァイル点と外心は、内心を

${\displaystyle WI:IO=r:3R=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c):6abc}$

に内分する。ここでr,Rはそれぞれ内接円、外接円の半径である。ヴァイル点の三線座標は以下の式で与えられる^[7]。

${\displaystyle (b-c)^{2}-a(b+c):(c-a)^{2}-b(a+c):(a-b)^{2}-c(a+b)}$

三角形のヴァイル点はアダムス円と3辺の6つ交点の幾何中心、コンウェイ円と3辺の6つの交点の幾何中心などと一致する^[7]。

出典

1. ^ ^{a b} Weisstein, Eric W.. “Weill's Theorem” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月14日閲覧。
2. ^ M'Clelland, William J. (1891). A treatise on the geometry of the circle and some extensions to conic sections by the method of reciprocation, with numerous examples. University of California Libraries. London, New York, Macmillan. http://archive.org/details/treatgeometrycir00mcclrich 
3. ^ ^{a b} Casey, John (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples. University of California Libraries. Dublin : Hodges, Figgis & co.. http://archive.org/details/sequeltofirstsix00caserich 
4. ^ Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson. http://archive.org/details/cu31924001522782 
5. ^ Weisstein, Eric W.. “Weill Point” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月15日閲覧。
6. ^ Weisstein, Eric W.. “Poncelet's Porism” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月14日閲覧。
7. ^ ^{a b} “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(354) = WEILL POINT”. faculty.evansville.edu. 2024年5月14日閲覧。