マンデルスタム変数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/20 06:40 UTC 版)
「マンデルスタム表示」の記事における「マンデルスタム変数」の解説
マンデルスタムはsチャンネルの反応と呼ばれる A + B → C + D {\displaystyle A+B\to C+D} という反応を考え、 s = − ( p 1 + p 2 ) 2 {\displaystyle s=-(p_{1}+p_{2})^{2}} ， t = − ( p 1 − p 3 ) 2 {\displaystyle t=-(p_{1}-p_{3})^{2}} ， u = − ( p 1 − p 4 ) 2 {\displaystyle u=-(p_{1}-p_{4})^{2}} という3変数を導入した。これらをマンデルスタム変数と呼ぶが、 s + t + u = m A 2 + m B 2 + m C 2 + m D 2 {\displaystyle s+t+u=m_{A}^{2}+m_{B}^{2}+m_{C}^{2}+m_{D}^{2}} で結びついているので独立な変数は2個である。変数sはAとBの重心系におけるエネルギーの二乗を表し、tはAからCへの（移行運動量）2を表し、uはAからDへの（移行運動量）2を表す。 マンデルスタム表示で重要なのは、この表示が同時に次の2つの反応を表すことである。 A + C ¯ → D + B ¯ {\displaystyle A+{\bar {C}}\to D+{\bar {B}}} ・・・「tチャンネルの反応」 A + D ¯ → C + B ¯ {\displaystyle A+{\bar {D}}\to C+{\bar {B}}} ・・・「uチャンネルの反応」 ここで B ¯ , C ¯ , D ¯ {\displaystyle {\bar {B}},{\bar {C}},{\bar {D}}} は B , C , D {\displaystyle B,C,D} の反粒子である。反応振幅は互いに解析接続で結ばれている。3つの反応の振幅 A ( s , t , u ) {\displaystyle A(s,t,u)} はスペクトル関数 ρ s t ( s , t ) , ρ s u ( s , u ) , ρ t u ( t , u ) {\displaystyle \rho _{st}(s,t),\rho _{su}(s,u),\rho _{tu}(t,u)} を使って以下のように書くことができる。 A ( s , t , u ) = 1 π 2 ∫ ∫ ρ s t ( s ′ , t ′ ) ( s ′ − s ) ( t ′ − t ) d s ′ d t ′ + 1 π 2 ∫ ∫ ρ s u ( s ′ , u ′ ) ( s ′ − s ) ( u ′ − u ) d s ′ d u ′ + 1 π 2 ∫ ∫ ρ t u ( t ′ , u ′ ) ( t ′ − t ) ( u ′ − u ) d t ′ d u ′ {\displaystyle A(s,t,u)={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int \int {\frac {\rho _{st}(s',t')}{(s'-s)(t'-t)}}ds'dt'+{\frac {1}{\pi ^{2}}}\int \int {\frac {\rho _{su}(s',u')}{(s'-s)(u'-u)}}ds'du'+{\frac {1}{\pi ^{2}}}\int \int {\frac {\rho _{tu}(t',u')}{(t'-t)(u'-u)}}dt'du'}
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