フォードの円の総面積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:40 UTC 版)
「フォードの円」の記事における「フォードの円の総面積」の解説
フォードの円（円板）の面積、オイラーのトーシェント関数 φ {\displaystyle \varphi } 、リーマンゼータ関数 ζ {\displaystyle \zeta } 、アペリーの定数 ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} の間には繋がりがある。 2 つのフォードの円は交わらないので、フォードの円 { C [ p , q ] : 0 ≤ p q ≤ 1 } {\displaystyle \left\{C[p,q]:0\leq {\frac {p}{q}}\leq 1\right\}} の総面積が 1 よりも小さいことはただちに従う。フォードの円の総面積は面積の収束する総和で求められる。定義から、その面積は A = ∑ q ≥ 1 ∑ ( p , q ) = 1 1 ≤ p < q π ( 1 2 q 2 ) 2 {\displaystyle A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}} である。この式を単純化することで次の式を得る。 A = π 4 ∑ q ≥ 1 1 q 4 ∑ ( p , q ) = 1 1 ≤ p < q 1 = π 4 ∑ q ≥ 1 φ ( q ) q 4 = π 4 ζ ( 3 ) ζ ( 4 ) , {\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},} ただし、最後の等号はオイラーのトーシェント関数 φ ( q ) {\displaystyle \varphi (q)} に関する母関数としてのディリクレ級数を反映している。 ζ ( 4 ) = π 4 / 90 {\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90} なので、最終的に次のようになる。 A = 45 2 ζ ( 3 ) π 3 ≈ 0.872284041. {\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.}
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