ピタゴラスの定理に依存しない証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「ピタゴラスの定理に依存しない証明」の解説
a 2 + b 2 = c 2 を満たす △ABC において、線分 AB を b 2 : a 2 の比に内分する点を D とすると AD = c × b 2 b 2 + a 2 = c × b 2 c 2 = b 2 c DB = c × a 2 b 2 + a 2 = c × a 2 c 2 = a 2 c {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{AD}}&=c\times {\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}\\&=c\times {\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\&={\frac {b^{2}}{c}}\\{\text{DB}}&=c\times {\frac {a^{2}}{b^{2}+a^{2}}}\\&=c\times {\frac {a^{2}}{c^{2}}}\\&={\frac {a^{2}}{c}}\end{aligned}}} である。これより、△ABC と △ACD において AB : AC = c : b AC : AD = b : b 2 c = c : b {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{AB}}:{\text{AC}}&=c:b\\{\text{AC}}:{\text{AD}}&=b:{\frac {b^{2}}{c}}=c:b\end{aligned}}} であるから AB : AC = AC : AD {\displaystyle {\text{AB}}:{\text{AC}}={\text{AC}}:{\text{AD}}} が成り立つ。ここで ∠ BAC = ∠ CAD {\displaystyle \angle {\text{BAC}}=\angle {\text{CAD}}} であるから、2辺比夾角相等より △ ABC ∼ △ ACD {\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\sim \triangle {\text{ACD}}} が成り立つ。したがって ∠ ACB = ∠ ADC {\displaystyle \angle {\text{ACB}}=\angle {\text{ADC}}} である。同様に △ABC と △CBD において AB : BC = c : a CB : BD = a : a 2 c = c : a {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{AB}}:{\text{BC}}&=c:a\\{\text{CB}}:{\text{BD}}&=a:{\frac {a^{2}}{c}}=c:a\end{aligned}}} であるから AB : BC = CB : BD {\displaystyle {\text{AB}}:{\text{BC}}={\text{CB}}:{\text{BD}}} が成り立つ。ここで ∠ ABC = ∠ CBD {\displaystyle \angle {\text{ABC}}=\angle {\text{CBD}}} であるから、2辺比夾角相等より △ ABC ∼ △ CBD {\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\sim \triangle {\text{CBD}}} が成り立つ。したがって ∠ ACB = ∠ CDB {\displaystyle \angle {\text{ACB}}=\angle {\text{CDB}}} である。ここで ∠ ADC + ∠ CDB = π {\displaystyle \angle {\text{ADC}}+\angle {\text{CDB}}=\pi } であるから ∠ ACB + ∠ ACB = 2 ∠ ACB = π {\displaystyle \angle {\text{ACB}}+\angle {\text{ACB}}=2\angle {\text{ACB}}=\pi } である。したがって ∠ ACB = π 2 {\displaystyle \angle {\text{ACB}}={\frac {\pi }{2}}} である。ゆえに、△ABC は ∠C = π/2 の直角三角形である。
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