ピタゴラスの定理を用いた代数的証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/03 17:20 UTC 版)
「ヘロンの公式」の記事における「ピタゴラスの定理を用いた代数的証明」の解説
△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線 AH の長さを h とする。 この時△ABC の面積を S とすると h は、 1 2 a h = S {\displaystyle {{\text{1}} \over {\text{2}}}ah=S} なので、 h = 2 S a {\displaystyle h={2S \over a}} (1) と表せる。 適当な符号で、 ± CH ± BH = a {\displaystyle \pm {\text{CH}}\pm {\text{BH}}=a} (2) は自明であり、 （±は鈍角三角形と鋭角三角形の場合分けを省くためである。） ピタゴラスの定理より、 CH = b 2 − h 2 {\displaystyle {\text{CH}}={\sqrt {b^{2}-h^{2}}}} (3) BH = c 2 − h 2 {\displaystyle {\text{BH}}={\sqrt {c^{2}-h^{2}}}} (4) と表せるので、(3)(4)の式に(1)を代入し、(2)の式に(3)(4)を代入すると、 ± b 2 − ( 2 S a ) 2 ± c 2 − ( 2 S a ) 2 = a {\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-\left({\frac {2S}{a}}\right)^{2}}}\pm {\sqrt {c^{2}-\left({\frac {2S}{a}}\right)^{2}}}=a} となる。 この式を S について解いた正の方が解である。 ピタゴラスの定理より、 CH = b 2 − h 2 = a − d {\displaystyle {\text{CH}}={\sqrt {b^{2}-h^{2}}}=a-d} (3) BH = c 2 − h 2 = d {\displaystyle {\text{BH}}={\sqrt {c^{2}-h^{2}}}=d} (4) と表すと、 c 2 = d 2 + h 2 {\displaystyle c^{2}=d^{2}+h^{2}} (5) b 2 = h 2 + ( a − d ) 2 = h 2 + a 2 − 2 a d + d 2 {\displaystyle b^{2}=h^{2}+(a-d)^{2}=h^{2}+a^{2}-2ad+d^{2}} (6) (5)の式を(6)の式に代入して、hを消すと、 b 2 = a 2 − 2 a d + c 2 {\displaystyle b^{2}=a^{2}-2ad+c^{2}} d = a 2 − b 2 + c 2 2 a {\displaystyle d={\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}}} (7) (7)の式を(5)の式に代入して、 h 2 = c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 2 a ) 2 = 4 a 2 c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 ) 2 4 a 2 = ( 2 a c ) 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 ) 2 4 a 2 = ( 2 a c + a 2 − b 2 + c 2 ) ( 2 a c − a 2 + b 2 − c 2 ) 4 a 2 = ( ( a + c ) 2 − b 2 ) ( b 2 − ( a − c ) 2 ) 4 a 2 = ( a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( − a + b + c ) 4 a 2 = ( a + b + c ) ( a + b + c − 2 b ) ( a + b + c − 2 c ) ( a + b + c − 2 a ) 4 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=c^{2}-\left({\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}}\right)^{2}\\&={\frac {4a^{2}c^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}}{4a^{2}}}\\&={\frac {(2ac)^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}}{4a^{2}}}\\&={\frac {(2ac+a^{2}-b^{2}+c^{2})(2ac-a^{2}+b^{2}-c^{2})}{4a^{2}}}\\&={\frac {((a+c)^{2}-b^{2})(b^{2}-(a-c)^{2})}{4a^{2}}}\\&={\frac {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}{4a^{2}}}\\&={\frac {(a+b+c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)(a+b+c-2a)}{4a^{2}}}\\\end{aligned}}} ここで a + b + c = T {\displaystyle a+b+c=T} とおくと、 h 2 = T ( T − 2 b ) ( T − 2 c ) ( T − 2 a ) 4 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&={\frac {T(T-2b)(T-2c)(T-2a)}{4a^{2}}}\end{aligned}}} ここで s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} とおくと、 T = 2 s {\displaystyle T=2s} となり、 h 2 = 2 s ( 2 s − 2 b ) ( 2 s − 2 c ) ( 2 s − 2 a ) 4 a 2 = 16 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) 4 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2s(2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)}{4a^{2}}}\\&={\frac {16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4a^{2}}}\end{aligned}}} h = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) a {\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}\end{aligned}}} よって S = 1 2 a h = 1 2 a 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) a = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle {\begin{aligned}S&={{\text{1}} \over {\text{2}}}ah\\&={{\text{1}} \over {\text{2}}}a{\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}} が得られる。
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