パワースペクトル密度の特性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/07 20:14 UTC 版)
「スペクトル密度」の記事における「パワースペクトル密度の特性」の解説
PSD には次のような特性がある。 実際に使われる過程のスペクトルは対称である: S(− f) = S(f) 言い換えると、偶関数である。 [− 1/2, +1/2] の範囲で連続しており、微分可能である。 PSD の微分は f = 0 で 0 となる。（このことはパワースペクトルが偶関数となるために必要である。）そうでない場合、微分は f = 0 で存在しない可能性がある。 自己共分散関数はフーリエ逆変換を使うことにより再構成することができる。 PSD は、時間軸上の分散の分布を示している。とりわけ、 Var ( X t ) = γ 0 = 2 ∫ 0 1 / 2 S ( ω ) d ω {\displaystyle {\text{Var}}(X_{t})=\gamma _{0}=2\int _{0}^{1/2}S(\omega )d\omega } である。 PSD は自己共分散関数の一次関数となる。もし γ が2つの関数 γ(τ) = α1γ1(τ) + α1γ2(τ) に再構成される場合、 S(f) = α1S1(f) + α2S2(f) となる。ここで S i ( f ) = F { γ i } {\displaystyle S_{i}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{i}\}} パワースペクトル G(f) は次式で定義される。 G ( f ) = ∫ − ∞ f S ( f ′ ) d f ′ . {\displaystyle G(f)=\int _{-\infty }^{f}S(f^{\prime })\,df^{\prime }.}
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