シルベスターの生成法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:18 UTC 版)
「アダマール行列」の記事における「シルベスターの生成法」の解説
アマダール行列の最初の例は、ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって1867年に作られた。n次のアダマール行列Hが与えられたとき、行列 [ H H H − H ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}} は2n次のアダマール行列となる。この結果は繰り返し適用できるため、以下のような行列の列が導かれる（この列はウォルシュ行列とも呼ばれる）。 H 1 = [ 1 ] H 2 = [ 1 1 1 − 1 ] H 4 = [ 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ] H 2 k = [ H 2 k − 1 H 2 k − 1 H 2 k − 1 − H 2 k − 1 ] = H 2 ⊗ H 2 k − 1 ( 2 ≤ k ∈ N ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {H}}_{1}&={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\\{\boldsymbol {H}}_{2}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\\{\boldsymbol {H}}_{4}&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}\\{\boldsymbol {H}}_{2^{k}}&={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}&{\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}\\{\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}&-{\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}\end{bmatrix}}={\boldsymbol {H}}_{2}\otimes {\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}\quad (2\leq k\in \mathbb {N} )\end{aligned}}} ここで ⊗ {\displaystyle \otimes } はクロネッカー積を表す。 この方法で、シルベスターは任意の非負整数kについて、2k次のアダマール行列を生成した。 シルベスターの行列は、多くの特別な性質を持っている。これらはいずれも対称行列であり、またトレースは0である。第1列および第1行の要素はすべて正である。その他の全ての行および列において、正の要素数と負の要素数は等しい。シルベスターの行列は、ウォルシュ関数と密接に関係している。
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