コンウェイ円とは？わかりやすく解説

コンウェイ円と、その円周上の六つの点。Iは三角形の内心、等長の辺は同じ色で塗り分けてある。

ユークリッド幾何学において、コンウェイ円（コンウェイえん、英: Conway circle）とは三角形の辺を拡張した直線上の、頂点からその対辺と同じ長さの距離にある点を通る円である。そのような6点が共円であるという定理をコンウェイ円の定理（Conway circle theorem）と言う^[1]^[2] 。名称はジョン・ホートン・コンウェイに由来する。

証明

同じ長さの線分は同色で示してある。 ${\begin{aligned}\triangle IF_{c}P_{a}&\cong \triangle IF_{c}Q_{b}\cong \triangle IF_{a}P_{b}\\&\cong \triangle IF_{a}Q_{c}\cong \triangle IF_{b}P_{c}\\&\cong \triangle IF_{a}Q_{a}\\\Rightarrow \,|IP_{a}|&=|IQ_{a}|=|IP_{b}|=|IQ_{b}|\\&=|IP_{c}|=|IQ_{c}|\end{aligned}}$

コンウェイ円の定理は次のように一般化できる。

$△ ABC$ と直線 $AB$ 上の点 $P$ について、符号付き距離で、 $BP = BQ, CQ = CR, AR = AS, BS = BT, CT = CU$ をみたす点を、それぞれ $Q, T$ は $BC$ 上に、 $R, U$ は $CA$ 上に、 $S$ は $AB$ 上に作ったとき、 $AU = AP$ で $PQRSTU$ は共円である^[3]。

$P$ を $AB$ 上の $BP = b$ を満たすような外側の点とすることで、コンウェイ円の定理を得る。

出典

^ “John Horton Conway”. www.cardcolm.org. 20 May 2020時点のオリジナルよりアーカイブ。29 May 2020閲覧。
^ ^a ^b Francisco Javier García Capitán (2013). “A Generalization of the Conway Circle”. Forum Geometricorum 13: 191–195.
^ Michael de Villiers (2023). “Conway's Circle Theorem as a Special Case of a More General Side Divider Theorem”. Learning and Teaching Mathematics (34): 37–42.

外部リンク

Kimberling, Clark.. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 2024年3月26日閲覧。
Conway’s Circle Theorem as special case of Side Divider Theorem at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.
Weisstein, Eric W. "Conway Cirlce". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] “John Horton Conway”. www.cardcolm.org. 20 May 2020時点のオリジナルよりアーカイブ。29 May 2020閲覧。

[FJGC-2] Francisco Javier García Capitán (2013). “A Generalization of the Conway Circle”. Forum Geometricorum 13: 191–195.

[MdeV-3] Michael de Villiers (2023). “Conway's Circle Theorem as a Special Case of a More General Side Divider Theorem”. Learning and Teaching Mathematics (34): 37–42.

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