ケンプナー関数とは？わかりやすく解説

数論において、ケンプナー関数（ケンプナーかんすう、英: Kempner function） $S (n)$ ^[1] は正整数 $n$ について定義される関数である^[2]^[3]。

定義

階乗 $s!$ を $n$ が割り切るとき $s$ の最小値を与える関数である。例えば $8$ ならば、 $1!, 2!, 3!$ は $8$ で割り切ることはできないが、 $4!$ で割り切ることができる。つまり $S (8) = 4$ である。他の言い方をすれば $n$ が $s!$ の約数となる最小の整数 $s$ を与える関数である。

この関数は、素数においては一次関数的に成長し、階乗数では対数関数的成長を見せる、一貫性のない成長率（英語版）をもつ。


$n$	この節の加筆が望まれています。（2024年7月）

$n!$ は $n$ を約数に持つため、 $S (n)$ は常に $n$ 以下である。 $n$ が素数か4であることと $S (n) = n$ が成り立つことは同値である^[1]。つまり $S (n)$ をできるだけ大きくするとき $n$ は素数である。逆に、できるだけ小さくする場合は $n$ を階乗数にすればよい（ $k ≧ 1$ について $S (k!) = k$ となる）。

$S (n)$ は係数が整数である、出力された整数値がすべて $n$ で割り切れるモニック多項式の最小次数となる。例えば $S (6) = 3$ について、以下の三次関数が出力する整数値は6で割り切れる（6を法として0である）。 $x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x.$

この節の加筆が望まれています。（2024年7月）

Pseudosmarandache Function

Pseudosmarandache Function $Z (n)$ は、 $s$ 番目の三角数が $n$ を割り切るとき、最小の $s$ を出力する関数である^[16]^[17]。以下のような性質を持つ。

${\sqrt {n}}<Z(n)\leq 2n-1$
$Z(n)\leq n-1$ （奇数の場合）
$Z(2^{k})=2^{k+1}-1\,$
$n$ についての方程式 ${\frac {n}{Z(n)}}=k\;(k\in \mathbb {Z} ,k\geq 2)$ は無限個の解を持つ。
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{Z(n)^{\alpha }}}$ は $\alpha >1$ ならば収束する。
${\frac {Z(n+1)}{Z(n)}},{\frac {Z(n-1)}{Z(n)}},{\frac {Z(2n)}{Z(n)}}$ は発散する。

Smarandache-double factorial Function

Smarandache-double factorial Function $Sdf(n)$ は $s!!$ （二重階乗）が $n$ を割り切るとき、最小の $s$ を出力する関数である^[18]。

Smarandache Near-to-Primorial Function

Smarandache Near-to-Primorial Functionは、 $s\#$ （素数階乗）または $s\#\pm 1$ のいずれかが $n$ を割り切るとき、最小の $s$ を出力する関数である^[19]。

スマランダチェ-ワグスタッフ関数

スマランダチェ-ワグスタッフ関数（Smarandache-Wagstaff Function） $Sw(n)$ は1から $s$ 番目までの階乗数の和が $n$ を割り切るとき、最小の $s$ を出力する関数である^[20]。0から $s$ 番目までとしたものはスマランダチェ-クレパ関数（Smarandache-Kurepa Function）と呼ばれる^[21]。

Smarandache Ceil Function

Smarandache Ceil Function $S k (n)$ は、 $s k$ が $n$ を割り切る最小の整数 $s$ を出力する関数である^[22]。 $S 1 (n) = n$ である。

$x^{k}\equiv 0\quad (\mathrm {mod} \ n)$ の解の個数を $M k (n)$ として $S_{k}(n)={\frac {n}{M_{k}(n)}}$ としても表される。

出典

[脚注の使い方]

^ ^a ^b ^c ^d オンライン整数列大辞典にてニール・スローンがこの表記を用いている。Sloane, N.J.A. (ed.). "OEIS (home page)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2024年7月6日閲覧。参照。
^ Li, Xiumei; Sha, Min (11 July 2020). "Polynomial analogue of the Kempner function". arXiv:1906.00510v3。
^ Guha, Ashwin; Dukkipati, Ambedkar (13 February 2015). "A Faster Algorithm For Testing Polynomial Representability Of Functions Over Finite Integer Rings". arXiv:1402.5789。
^ Lucas, E. (1883). “Question Nr. 288”. Mathesis 3: 232.
^ Neuberg, J. (1887). “Solutions de questions proposées, Question Nr. 288”. Mathesis 7: 68–69.
^ Weisstein, Eric W.. “Smarandache Function” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年7月6日閲覧。
^ “Properties and Problems related to Smarandache Type Functions”. arXiv. 2024年7月6日閲覧。
^ “SMARANDACHE FUNCTION”. R. Muller. 2024年7月6日閲覧。
^ Erdős, Paul; Kastanas, Ilias (1994). “The smallest factorial that is a multiple of $n$ (solution to problem 6674)”. The American Mathematical Monthly 101: 179. doi:10.2307/2324376. JSTOR 2324376. .
^ I. Prodanescu, L. Tuțescu (2000). On A Conjecture Concerning The Smarandache Function
^ I.Cojocaru and S. Cojocaru (1996). “The First Constant of Smarandache”. Smarandache notions journal (vol 7). https://fs.unm.edu/SNJ7.pdf.
^ E. Burton (1995). “On Some Series Involving the Smarandache Function”. Smarandache Function Journal vol 6. https://fs.unm.edu/SFJ6.pdf.
^ “A048799 - OEIS”. oeis.org. 2024年7月6日閲覧。
^ “A048834 - OEIS”. oeis.org. 2024年7月6日閲覧。
^ “A048835 - OEIS”. oeis.org. 2024年7月6日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. "Pseudosmarandache Function". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A011772". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2025年4月20日閲覧。
^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A007922". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2025年4月20日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. "Smarandache Near-to-Primorial Function". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Smarandache-Wagstaff Function". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Smarandache-Kurepa Function". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Smarandache Ceil Function". mathworld.wolfram.com (英語).

参考文献

Kenichiro Kashihara　. “COMMENTS AND TOPICS ON SMARANDACEE NOTIONS AND PROBLEMS”. 2025年4月20日閲覧。
SMARANDACHE NOTIONS JOURNAL vol7,vol8,vol9,vol10,vol11,vol12,vol13

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Smarandache functionの本文を含む

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