カッツ・ムーディ代数とは？わかりやすく解説

数学において、カッツ・ムーディ（・リー）代数（英: Kac–Moody algebra）とは、一般カルタン行列を用いて生成元と関係式によって定義できる、通常は無限次元の、リー代数である。独立に発見したヴィクトル・カッツとロバート・ムーディ（英語版）に因んで名づけられている。カッツ・ムーディ・リー環は有限次元半単純リー環の一般化であり、ルート系、既約表現、旗多様体との関連といった、リー環の構造に関係した多くの性質は、カッツ・ムーディ・リー環において自然な類似を持つ。

カッツ・ムーディ・リー環の中でもアフィン・リー環と呼ばれるクラスが、数学や理論物理学、特に共形場理論や完全可解模型（英語版）の理論において、特に重要である。カッツは、組合せ論的な恒等式であるマクドナルド恒等式の、アフィン・リー環の表現論に基づいたエレガントな証明を発見した。Howard Garland と James Lepowsky（英語版）はロジャーズ・ラマヌジャン恒等式が類似の方法で導出できることを証明した^[1]。

カッツ・ムーディ・リー環の歴史

カルタン整数から有限次元単純リー環を構成するエリ・カルタンとヴィルヘルム・キリング（英語版）による最初の方法は型に依存していた。1966年、ジャン＝ピエール・セールは、クロード・シュヴァレーとハリシュ・チャンドラ（英語版）の関係式^[2]を Nathan Jacobson（英語版）による簡略化^[3]と合わせるとリー環を特徴づけるものが得られることを示した^[4]。したがってカルタン整数の行列（これは正定値である）からのデータを用いて生成元と関係式のことばで単純リー環を記述することができる。

ロバート・ムーディ（英語版）は、1967年の thesis において、カルタン行列が正定値でないようなリー環を考察した^[5]^[6]。それでもなおリー環は生じるが、無限次元である。同じ時期に、Z-次数付きリー環（英語版）がモスクワで研究されていた。I. L. カントル（英語版）が、やがてカッツ・ムーディ・リー環と呼ばれるようになるものを含むリー環の一般的なクラスを導入し研究した^[7]。ヴィクトル・カッツもまた polynomial growth の単純あるいはほとんど単純なリー環を研究していた。無限次元リー環の豊かな数学的理論が徐々に発展した。他の多くの人々の研究も含む主題の詳細は Kac (1990) にある。Seligman (1987) も参照。