アルキメデスの牛の問題

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アルキメデスの牛の問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/11/14 17:06 UTC 版)

『牛の問題』（うしのもんだい、英: cattle problem、羅: problema bovinum）は、古代ギリシアの数学者アルキメデスが提示したとされる、ある条件を満たす牛の頭数を問う問題である。

現代的な用語を用いれば、あるディオファントス方程式の整数解を求める問題と見なせる。解は無数にあるが、最小解でも牛の頭数は二十万桁（二十万「頭」ではない）以上という非現実的なほどの巨大な数に達する。これは観測可能な宇宙を埋め尽くす牛の頭数よりもはるかに多い。

問題

問題は「おお盟邦の友よ、ヘリオスの牛の群れを算（かぞ）え給え…」で始まる22の対句、44行の詩の形で示されている。

トリナキア島の野に牛がいる。牛の色は白、黒、黄、斑である。

白牡牛の数は、黒牡牛の数の1/2＋1/3、＋ 黄牡牛の数の合計である。

黒牡牛は、斑牡牛の1/4＋1/5、＋ 黄牡牛の合計。

斑牡牛は、白牡牛の1/6＋1/7、＋ 黄牡牛の合計。

また、

白牝牛は、黒牛全部の1/3＋1/4に等しい。

黒牝牛は、斑牛全部の1/4＋1/5に等しい。

斑牝牛は、黄牛全部の1/5＋1/6に等しい。

黄牝牛は、白牛全部の1/6＋1/7に等しい。

アルキメデスは最初の7つの条件を与えた後に「これだけではまだなかなか知恵者の数にははいらない」と述べ、さらに2つの条件を与える。

白い牡牛＋黒い牡牛を整列させると、縦横が等しい四角形に並ぶ。

黄の牡牛＋斑の牡牛を整列させると、各辺が等しい三角形に並ぶ。牛の総数を求めよ。

計算式

白の牡牛の頭数を W、白の牝牛の頭数を w とし、以下黒、黄、斑の牡牛と牝牛の頭数をそれぞれ B, b, Y, y, D, d とすると、アルキメデスの示した条件は以下の9つの数式で表される。

${\begin{aligned}W&=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)B+Y\\B&=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)D+Y\\D&=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)W+Y\\w&=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)(B+b)\\b&=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)(D+d)\\d&=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)(Y+y)\\y&=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)(W+w)\\W+B&=p^{2}\\Y+D&={\frac {q(q+1)}{2}}\end{aligned}}$

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