フェンシェルの双対性とは？わかりやすく解説

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フェンシェルの双対性

読み方：ふぇんしぇるのそうついせい
【英】：Fenchel duality

2つの下半連続な真凸関数 $k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}}$ と $h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}$ , および $A\in{{\mathbf R}^{m\times{n}}}$ , $b\in{{\mathbf R}^m}$ , $c\in{{\mathbf R}^n}$ に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと.

$\begin{array}{l} \displaystyle{ \min_{x\in{{\mathbf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\ \displaystyle{ \max_{y\in{{\mathbf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} } \end{array}$

ここで, ${}^*$ は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 $f_1(x)$ と凹関数 $f_2(x)$ の差で表した主問題 $\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}$ に対して, $\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}$ をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.

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