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元 (数学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/28 22:42 UTC 版)

数学において元（げん、英: element または member）とは、集合を構成する個々の数学的対象のことである。元素^[1]、要素ともいう。

^ これは「である」に相当するギリシャ語の動詞 ἐστί に現れる最初の文字 ε に由来するが^[3]、 $\epsilon$ や $\varepsilon$ とは字形が異なる^[4]。
^ 「含む」「含まれる」などの語は集合の包含関係などにも用いるため紛らわしい（赤摂也は部分集合として含む、含まれるという代わりに「包む」「包まれる」とすることを提唱した^[5]）。包含関係は帰属関係を用いて「集合 $A$ が集合 $B$ に含まれる」 $:\Leftrightarrow$ 「 $A$ の任意の元が $B$ の元として属す」と定めることができる。
^ が、特定の集合からなる部分類の上に限れば推移的となり得る。よく知られる例としては順序数全体の成す類がある。
^ 少なくとも、 ${1, 2} \neq 1$ , ${1, 2} \neq 2$ , ${1, 2} \neq 3$ , ${3} \neq 1$ , ${3} \neq 2$ , ${3} \neq 3$ などが証明できる。

^ 髙木貞治『数の概念』岩波書店、1949年8月20日。
^ Hans Freudenthal, « Notation mathématique », Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.
^ 山下正男『論理学史』岩波書店〈岩波全書〉、1983年、102頁。
^ Toth, Gabor (2021). Elements of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-030-75051-0
^ 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 978-4000054249。
^ L. シュヴァルツ著、齋藤正彦訳『解析学 1（集合・位相）』東京図書、1970年、1頁。全国書誌番号:69022664。
^ (de) Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Leipzig, Teubner,‎ 1894-1895, page 481 [Lire en ligne sur Gallica (page consultée le 14 avril 2009)]
^ Voir René Cori および Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], chapitre 7, p. 113-114 notamment
^ (en) Felix Hausdorff, Set theory, AMS Chelsea Publishing,‎ 1957 (rééd. 2000) (1937 pour l'édition allemande) (ISBN 0821838350),
^ Ces trois suggestions sont proposées par (en) Yiannis Moschovakis, Notes on set theory, Springer,‎ 2000 (ISBN 9780387287232) p. 29.