連続 (数学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/29 03:46 UTC 版)

不連続関数

ガウス記号 $[x]$ によって実数から実数への関数 $f (x) = [x]$ を定義しよう。この関数は、各整数の点で不連続である。この場合、関数のグラフにはギャップができる。ギャップのある不連続点を第一種不連続点という。これは正確には、 $a +, a -$ の両側に極限が存在するが、両者の極限が等しくならないようなものである。これは不連続点の中では最も連続に近いものである。
$sin 1 / x$ は $x = 0$ での値をどのように定めてもこの点で不連続になる。これは第一種不連続点ではない。
$x$ が有理数なら $1$ 、無理数なら $0$ の値をとる関数 $d (x)$ をディリクレの関数と呼ぶ。これは $R$ 上の全ての点で不連続である。単純だが極端な不連続関数の例として積分論などの議論で重宝される。
関数 $f$ を、 $x$ が無理数の場合は $f (x) = 0$ と定義し、有理数の場合は $x = p / q$ （ $p$ は整数、 $q$ は正の整数でこれらは互いに素）と表し、この $q$ を使って $f (x) = 1 / q$ と定義すると、 $f$ は無理数では連続、有理数では不連続となる。

^ 日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。実際、位相幾何学者の正弦曲線は連結であるが関数は原点において連続ではない。位相空間からコンパクト・ハウスドルフ空間への写像が連続であることと同値な条件としてはグラフが閉集合であることがある^[1]。