多重散乱理論多重散乱理論の概要

格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子

多重散乱理論には扱う対象により様々なものが考えられるが、以下に一つの例として並進対称に配置した格子系において、各格子（サイト）上にポテンシャルがランダム（非周期的）に配置した場合を考える。以下、散乱されるのは電子としておく。

サイトnにあるポテンシャルをV_n、自由電子（または無摂動）のハミルトニアンをH₀として、系を記述するハミルトニアンHを、

$H=\,H_{0}+\sum _{n}V_{n}$

とする。次にこれを以下のように変形する。

$H=[H_{0}+{\tilde {V}}(z)]+\sum _{n}[V_{n}-{\tilde {V}}_{n}(z)]={\tilde {H}}(z)+v(z)$

ここで、

${\tilde {V}}(z)=\sum _{n}{\tilde {V}}_{n}(z)$

であり、 ${\tilde {V}}_{n}(z)$ は任意の周期ポテンシャル。つまりポテンシャルV_nを周期的部分 ${\tilde {V}}$ と非周期的部分 $\,v$ とに分けた訳である。zは複素エネルギー。上式で、v(z)は次のようv_n(z)の和になっている。

$v(z)=\sum _{n}[V_{n}-{\tilde {V}}_{n}(z)]=\sum _{n}v_{n}(z)$

更に、この系におけるグリーン関数をG(z)とすると、G(z)は、

$G(z)={\frac {1}{z-{\tilde {H}}-v}}={\frac {1}{(z-{\tilde {H}})\left(1-{\frac {v}{z-{\tilde {H}}}}\right)}}$

であり、

${\tilde {G}}={\frac {1}{z-{\tilde {H}}}}$

とし、非周期ポテンシャル部分vに関して展開すると、

$G(z)={\tilde {G}}\{1+v{\tilde {G}}+v{\tilde {G}}v{\tilde {G}}+\cdots \}={\tilde {G}}+{\tilde {G}}T{\tilde {G}}$

$T=v+v{\tilde {G}}v+v{\tilde {G}}v{\tilde {G}}v+\cdots$

となる。Tを総散乱行列と言う。総散乱行列Tをサイトの和の形で表すと、

$T=\sum _{n}v_{n}+\sum _{n}v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}+\sum _{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}\cdots$

となる。サイトnのポテンシャルv_nのみを考え、散乱理論の場合と同じ要領でt行列が定義できる。

$t_{n}=v_{n}\{1+{\tilde {G}}v_{n}+{\tilde {G}}v_{n}{\tilde {G}}v_{n}\cdots \}=v_{n}{\frac {1}{1-v_{n}{\tilde {G}}}}=v_{n}[1-v_{n}{\tilde {G}}]^{-1}$

加えて、

$t_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\{v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}v_{n}{\tilde {G}}v_{n}\cdots \}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}t_{n}$

である。総散乱行列TはサイトnでのT_nの和、

$T=\,\sum _{n}T_{n}$

と表現でき、各T_nは、

${\begin{aligned}T_{n}&=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}+\cdots \\&=v_{n}\left\{1+{\tilde {G}}\left[\sum _{m}v_{m}+\sum _{m}v_{m}{\tilde {G}}\sum _{p}v_{p}+\cdots \right]\right\}\\&=v_{n}\left[1+{\tilde {G}}\sum _{m}T_{m}\right]\end{aligned}}$

更に、

$T_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}T_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m}=t_{n}\left[1+{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m}\right]$

である。ここで、

$(1-v_{n}{\tilde {G}})T_{n}=v_{n}+v_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}T_{m},\quad t_{n}=v_{n}[1-v_{n}{\tilde {G}}]^{-1}$

よりt_nが出てくる。以上から総散乱行列Tは、t行列により次のように表される。

$T=\sum _{n}t_{n}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}{\tilde {G}}\sum _{p\neq m}t_{p}+\cdots$

形式解の提示

ここでポテンシャルが全て同じであると考える。そして総散乱行列Tを次のように分解する。

$T=\,\sum _{n,n'}T_{nn'}$

分解されたT_nn'は、

$T_{nn'}=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}T_{mn'}$

となる。G₀は自由電子のグリーン関数とする（ ${\tilde {G}}\to G_{0}$ ）。これにより、厳密な形式解を得ることができる。T_nn'は更に、

${\begin{aligned}T_{nn'}&=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}(t_{m}\delta _{mn'}+t_{m}G_{0}\sum _{p\neq m}T_{pn'})\\&=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}t_{n'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}t_{m}G_{0}t_{n'}+\cdots \end{aligned}}$

となる。T_nn'はサイトnから始まって、サイトn'で終わる全ての散乱過程を記述していることとなる。一方T_nは、

$T_{n}=\,\sum _{n'}T_{nn'}$

であり、これはサイトnは考慮されるが、終点としてのサイトn'を考えていない。そして、T_nn'の形式解は（但し、ここでr→kへのフーリエ変換及び、角運動量表示を導入している）、

$T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=\tau _{n}^{l}(\kappa )\left[\delta _{nn'}^{LL'}+\sum _{n_{1},L_{1}}B_{nn_{1}}^{LL_{1}}(\kappa )\cdot T_{{n_{1}}n'}^{{L_{1}}L'}(\kappa )\right]$

$T_{nn'}(\mathbf {k} ,\mathbf {k'} )=(4\pi )^{2}\sum _{L,L'}Y_{L}(\mathbf {k} )T_{nn'}^{LL'}(k,k')Y_{L'}(\mathbf {k'} )$ 　：　角運動量表示

となる（形式解導出の詳細は省略）。 $B_{nn_{1}}^{LL_{1}}$ は構造定数と言われるもので、結晶格子の種類にのみ依存する定数である。 $\kappa =k={\sqrt {E}}$ であり。L,L',lなどは軌道角運動量に関しての指標である。τ_n(κ)はt行列t_nに相当する。ここで構造定数は具体的には、

${\begin{aligned}B_{nn_{1}}^{LL_{1}}(\kappa )&=-\left[4\pi i\kappa \sum _{L_{1}}i^{l-l'-l_{1}}C_{LL'L_{1}}Y_{L_{1}}(\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R} _{n'})h_{l}^{+}(\kappa |\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R} _{n'}|)\right](1-\delta _{nn'})\\C_{LL'L_{1}}&=\int Y_{L}(\mathbf {q} )Y_{L'}(\mathbf {q} )Y_{L_{1}}(\mathbf {q} )\,d\Omega _{q}\end{aligned}}$

となる。 $h_{l}^{+}$ は球ハンケル関数、Y_Lは球面調和関数である。尚、形式解は次のようにも表される。

$T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=\{[\tau ^{-1}(\kappa )-B(\kappa )]^{-1}\}_{nn'}^{LL'}$

この形式解から、状態密度をD(E)の表式を得ることができる。この時、上式左辺を $T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=T(\kappa )$ と略して表示。

${\begin{aligned}D(E)-D_{0}(E)&={\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} {\frac {d}{dE}}\ln[T(\kappa )]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} {\frac {d}{dE}}\ln[\tau ^{-1}-B(\kappa )]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im\,Tr} \left[T(\kappa )\left({\frac {d\tau ^{-1}}{dE}}-{\frac {dB(\kappa )}{dE}}\right)\right]\\&=-{\frac {2}{N\pi }}\mathrm {Im} \sum _{n,L}\sum _{n_{1},L_{1}}T_{nn_{1}}^{LL_{1}}\left[\delta _{{n_{1}}n}^{{L_{1}}L}{\frac {d(\tau _{n}^{l}(\kappa ))^{-1}}{dE}}-{\frac {d}{dE}}B_{{n_{1}}n}^{{L_{1}}L}(\kappa )\right]\end{aligned}}$

ここで、係数2はスピンの縮重度、Nは全サイト数、Imは虚数部分、Trはトレース（跡）を取ることを意味する。D₀(E)は自由電子の状態密度。

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