図式 (圏論)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/24 15:47 UTC 版)

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図式は極限と余極限の定義において中心となる概念であり、錐（英語版）とも関連している。

概要

圏論における図式の概念は、集合論における添え字付き集合族に類似している。一番の違いは、圏論では射にも添え字を付ける必要があることである。添え字付き集合族は、ある固定した集合で添え字付けた集合の集まりのことであり、これは、固定した添え字集合から集合全体のクラスへの関数のことであると言っているのと同じである。これに対して、図式は、ある固定した圏で添え字付けた対象と射の集まりのことであり、固定した添え字圏からある圏への関手のことであると言うこともできる。

定義

圏 $C$ 上の $J$ -型 ( $J$ -type) の図式（diagram）とは、共変関手

D : J \to C

のことを言う。このドメインの圏 $J$ のことをこの図式の添字圏 (index category) やスキーム（scheme）と呼ぶ。関手自体を $J$ -型の図式と呼ぶこともある^[1]。 $J$ の対象や射自体にはたいした意味はなく、それらがどのように繋がっているかが重要となる。図式 $D$ は $J$ をパターンとして、 $C$ の対象と射の集まりに添え字付けていると考えることもできる。

形式上は、図式と関手、スキームと圏の間にはなんの違いもない。集合論の場合と同様に、用語を使い分けることでものの見方を変えているだけである。つまり、添え字の圏を固定して、関手(とその余ドメイン)を変化させようとしているときに図式と呼ぶのである。

よく使われる図式では、添え字圏 $J$ は小さい圏や有限である。このとき、図式は小さいとか有限であるという。

圏 $C$ 上の $J$ -型図式の射とは、これら関手の間の自然変換をいう。これは $C$ 上の $J$ -型の図式の圏（category of diagrams）を関手圏 $C J$ （functor category）、加えて図式をこの圏の対象として解釈することができる。

例

圏 $C$ の任意の対象 $A$ に対する定図式 (constant diagram) とは、 $J$ の対象を全て $A$ にうつし、射を全て $A$ の恒等射にうつす図式をいう。定図式を表す記法として、下線を使うことがある。すなわち、 $C$ の対象 $A$ に対する定図式は $A$ と書く。
$J$ が(小さい)離散圏の場合の $J$ -型の図式とは、単に $C$ の対象の添え字付けられた族を言う。これを使って極限を取ると積が得られ、余極限を取ると余積が得られる。特に、 $J$ が二対象離散圏の場合の極限は単に二項積である。
添字圏が $J = -1 \leftarrow 0 \to +1$ のときの $J$ -型図式、すなわち $A \leftarrow B \to C$ をスパン（英語版）と呼び、その余極限は押し出し（英語版）である。この図式で対象 $B$ （および射 $B \to A$ と $B \to C$ ）を「忘れる」(空にとる) 場合を考えると、図式は単なる二対象（ $A$ と $C$ からなる）離散圏で、その余極限は単なる二項余積になる。この例は、集合論的な添字集合の概念の図式の概念を用いた一般化の重要な方法論を示すものになっている。つまり、射 $B \to A$ と $B \to C$ が含まれていることによって、図式から作られる構成に追加の構造を持たせることが可能となる。単なる集合を添え字にした場合、対象の間の関係を持っていないため、このような構造を表現することはできない。
添字圏が $J = -1 \to 0 \leftarrow +1$ に対する $J$ -型図式 $A \to B \leftarrow C$ は余スパン（英語版）と言い、その極限を引き戻しと呼ぶ。
添字圏 $J=0\rightrightarrows 1$ は「2つの平行射」やときには自由箙やwalking quiverと呼ばれる。 $J$ -型図式 $f, g : X \to Y$ は箙となり、極限は等化子であり、余極限は余等化子である。
圏 $J$ を半順序集合圏とするとき、 $J$ -型の図式は対象の族 $D i$ であって、 $i \leq j$ に限り必ず唯一の射 $f ij : D i \to D j$ があるようなものになる。 $J$ が有向であるとき、 $J$ -型の図式は対象と射からなる直系という。図式が反変関手である場合は逆系である。