四極子 四極子の概要

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四極子

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/03 00:05 UTC 版)

四極子（横型）

電気四極子の等ポテンシャル面

電荷の分布を電気四極子、磁荷の分布を磁気四極子という。電磁気学においては単に四極子といえば、電気四極子を指すことが多い。

電気四極子モーメントは2階の対称テンソルであり、以下のように定義される :

$Q_{ij}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})r_{i}r_{j}$

ここで、$\rho ({\boldsymbol {r}})$ は位置 ${\boldsymbol {r}}$ における電荷密度で、添字 $i,j\in \{x,y,z\}$ である。直積を用いると

${\boldsymbol {Q}}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}$

あるいはトレースなしのテンソルとして以下のように定義される:

${\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})(3r_{i}r_{j}-\delta _{ij}r^{2})={\frac {1}{2}}\left[3Q_{ij}-\delta _{ij}(Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz})\right]\\{\boldsymbol {\Theta }}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V\rho ({\boldsymbol {r}})(3{\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {1}}r^{2})={\frac {1}{2}}(3{\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {1}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {Q}})\end{aligned}}$

$\delta$ はクロネッカーのデルタである。

電気四極子モーメントによる電位 $\phi$ は

$\phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {{\boldsymbol {r}}^{\intercal }{\boldsymbol {\Theta }}{\boldsymbol {r}}}{r^{5}}}$

で与えられる。$\epsilon$ は 誘電率 である。

一般に四極子のポテンシャルφは単極子のそれφ_monopole の空間についての2階微分で表される。

$\phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\phi _{\mathrm {monopole} }$　（横型）

$\phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\phi _{\mathrm {monopole} }$　（縦型）

また、音響学においても用いられ、音源の一種として扱われる。