同値類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/11 05:23 UTC 版)
性質
X の任意の元 x は同値類 [x] の元である．任意の2つの同値類 [x] と [y] は，等しいか互いに素かのいずれかである．したがって，X のすべての同値類からなる集合は X の分割をなす，つまり，X の任意の元はちょうど1つの同値類に属する[6]．逆に X の任意の分割は同値関係からこのようにして生じる．x ∼ y を x と y が分割の同じ集合に属するとした同値関係である[7]．
同値関係の性質から次が従う：
- x ∼ y ⇔ [x] = [y].
言い換えると，∼ が集合 X 上の同値関係であり，x と y が X の2つの元であれば，以下の主張は同値である：
![{\displaystyle [x]=[y]}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c34866e2a1216182b168dc1e272b0b02f1aab3a)
![{\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2446e8a76d1e403fff2ee153d5dddef4cf1678ce)
- ^ Avelsgaard 1989, p. 127.
- ^ a b Devlin 2004, p. 123.
- ^ Maddox 2002, pp. 77–78.
- ^ Devlin 2004, p. 122.
- ^ Wolf 1998, p. 178.
- ^ Maddox 2002, p. 74, Thm. 2.5.15.
- ^ Avelsgaard 1989, p. 132, Thm. 3.16.
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