可除群

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 05:39 UTC 版)

定義

アーベル群 (G, +) が可除 (divisible) であるとは、すべての正の整数 n とすべての g ∈ G に対して、ある y ∈ G が存在して、ny = g となることをいう^[1]。これは任意の正の整数 n に対して nG = G といっても同じである。なぜならば、すべての n と g に対しての y の存在から nG ⊇ G が言え、逆の nG ⊆ G は任意の群に対して正しいからである。また別の同値条件として、アーベル群 G が可除であることと G がアーベル群の圏における入射対象であることは同値である。この理由のため、可除群は入射群と呼ばれることがある。

アーベル群が素数 p に対して p-可除 (p-divisible) とは、すべての正の整数 n とすべての g ∈ G に対してある y ∈ G が存在して pⁿy = g となることをいう。あるいは同じことだが、アーベル群が p-可除であることと pG = G であることは同値である。

例

有理数全体 $\mathbb {Q}$ は加法のもと可除群をなす。
より一般に、 $\mathbb {Q}$ 上の任意のベクトル空間を加法群と見たものは可除である。
可除群のすべての商群は可除である。したがって、 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ は可除である。
$\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ の p-準素成分（英語版） $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$ 、これは p-準巡回群 $\mathbb {Z} [p^{\infty }]$ と同型であるが、可除である。
複素数体の乗法群 $\mathbb {C} ^{*}$ は可除である。
（モデル理論の意味で）存在閉（英語版）なすべての群は可除である。

性質

可除群がアーベル群の部分群であれば直和因子（英語版）である^[2]。
任意のアーベル群は可除群に埋め込むことができる^[3]。
非自明な可除群は有限生成でない。
さらに、すべてのアーベル群は可除群に一意的に本質部分群（英語版）として埋め込むことができる^[4]。
アーベル群が可除であることと全ての素数 p に対して p-可除であることは同値である。
A を環とする。T が可除群であれば、 $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} }(A,T)$ は A 加群の圏において単射的である^[5]。