リース＝ソリンの定理 応用

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リース＝ソリンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/19 14:39 UTC 版)

応用

ハウスドルフ＝ヤングの不等式

本記事の第一節で、フーリエ変換 ${\mathcal {F}}$ は L¹(R^d) から L^∞(R^d) への有界作用素かつ L²(R^d) からそれ自身への有界作用素であることが確かめられた。同様の議論により、周期函数  f  : T → C を、値がフーリエ係数

${\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx$

であるような函数 ${\hat {f}}:\mathbf {Z} \to \mathbf {C}$ に写すフーリエ級数作用素は、L¹(T) から ℓ^∞(Z) への有界作用素かつ L²(T) から ℓ²(Z) への有界作用素であることが分かる。このとき、リース＝ソリンの定理は次を意味する：

${\begin{aligned}\left\|{\mathcal {F}}f\right\|_{L^{q}(\mathbf {R} ^{d})}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\\\left\|{\hat {f}}\right\|_{\ell ^{q}(\mathbf {Z} )}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {T} )}.\end{aligned}}$

ただし 1 ≤ p ≤ 2 かつ 1/p + 1/q = 1 である。これはハウスドルフ＝ヤングの不等式である。

ハウスドルフ＝ヤングの不等式はまた、局所コンパクトアーベル群上のフーリエ変換に対しても成立することが示される。ここで 1 のノルム評価は最適ではないことに注意されたい。例えばハウスドルフ＝ヤングの不等式の記事を参照されたい。

畳み込み作用素

 f  を固定された可積分函数とし、T を  f  との畳み込み作用素、すなわち各函数 g に対して Tg =  f  * g で与えられる作用素とする。

このような T が L¹ から L¹ への有界作用素であることはよく知られており、L^∞ から L^∞ への有界作用素であることは自明である（いずれの場合も、|| f ||₁ によって評価される）。したがって、リース＝ソリンの定理より次が成立する。

$\|f*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.$

この不等式に対し、作用素と被作用子の役割を変える、すなわち S を g との畳み込み作用素とし、S は L¹ から L^p への有界作用素である場合を考える。g は L^p に属すため、ヘルダーの不等式の観点から、S は L^q から L^∞ への有界作用素であることが再び分かる。ただし 1/p + 1/q = 1 である。したがって補間により

$\|f*g\|_{s}\leq \|f\|_{r}\|g\|_{p}$

が得られる。ただし p、r および s の間の関係は次で与えられる。

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{s}}.$

ヒルベルト変換

 f  : R → C のヒルベルト変換は次で与えられる。

${\mathcal {H}}f(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x-t)}{t}}\,dt=\left({\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} {\frac {1}{t}}\ast f\right)(x)$,

ここで p.v. は積分のコーシーの主値を表す。このヒルベルト変換は、ある特定の単純な乗数を伴うフーリエ乗数作用素である：

${\widehat {{\mathcal {H}}f}}(\xi )=-i\,\mathrm {sgn} (\xi ){\hat {f}}(\xi ).$

プランシュレルの定理より、ヒルベルト変換は L²(R) からそれ自身への有界作用素となる。

しかし、ヒルベルト変換は L¹(R) あるいは L^∞(R) 上で有界とはならず、直接的にリース＝ソリンの補間定理を用いることは出来ない。それらの終点の境界が得られない理由を探るためには、簡単な函数 1_(−1,1)(x) および 1_(0,1)(x) − 1_(0,1)(−x) のヒルベルト変換を計算すれば十分である。しかし、すべてのシュワルツ函数  f  : R → C に対しては

$({\mathcal {H}}f)^{2}=f^{2}+2{\mathcal {H}}(f{\mathcal {H}}f)$

が成り立ち、この等式は、すべての n ≥ 2 に対してヒルベルト変換が L²ⁿ(R^d) からそれ自身への有界作用素を示すために、コーシー＝シュワルツの不等式と組合せて用いることが出来る。補間によって、次の評価が得られる：

$\|{\mathcal {H}}f\|_{p}\leq A_{p}\|f\|_{p}.$

ただし 2 ≤ p < ∞ である。1 ≤ p ≤ 2 の場合にこの評価を適用する上では、ヒルベルト変換の自己共役性が活用される。