ポスト・ニュートン展開

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/14 15:11 UTC 版)

定式化

以下では Maggiore (2008) に従い、展開パラメータを重力源の速度 $v$ と光速 $c$ の比 $\epsilon :=v/c$ とし、 ${\mathcal {O}}(\epsilon ^{n})$ の量を添え字 $(n)$ により表す。また、物質場は非相対論的でありそのエネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu }$ は $\left|T^{ij}/T^{00}\right|={\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})$ を満たすものと仮定する。また光速 $c$ を1とする単位系を採用する。

物質場が存在しないミンコフスキ時空では計量テンソル $g_{\mu \nu }$ は $g_{00}=-1$ , $g_{ij}=\delta _{ij}$ と書けるため、ポスト・ニュートン展開ではこの計量に対する補正項を $\epsilon$ のべき級数という形で求めることになる。重力波放射を無視する近似では、時間反転対称性のため例えば $g_{00}$ には $\epsilon$ の奇数次の項は現れないため、この展開を次のように表示することができる^[2]。

g_{00}=-1+{}^{(2)}g_{00}+{}^{(4)}g_{00}+{}^{(6)}g_{00}+\cdots

g_{0i}={}^{(3)}g_{00}+{}^{(5)}g_{00}+\cdots

g_{ij}=\delta _{ij}+{}^{(2)}g_{00}+{}^{(4)}g_{00}+\cdots

同様に、エネルギー・運動量テンソルは次の形に展開される。

T^{00}={}^{(0)}T^{00}+{}^{(2)}T^{00}+\cdots

T^{0i}={}^{(1)}T^{00}+{}^{(3)}T^{00}+\cdots

T^{ij}={}^{(2)}T^{00}+{}^{(4)}T^{00}+\cdots

ニュートン極限

アインシュタイン方程式に上記展開を代入し $\epsilon$ のべきで整理すると、調和ゲージ条件（De Donderゲージとも呼ぶ） $\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)=0$ のもとで、時間成分の最低次の項からは ${}^{(2)}g_{00}$ に関する方程式

\nabla ^{2}{}^{(2)}g_{00}=-8\pi G{}^{(0)}T^{00}

が導かれる^[3]。 $T^{00}$ は物質場のエネルギー密度であることから、この結果は計量の最低次の補正項 ${}^{(2)}g_{00}$ はニュートン理論における重力ポテンシャル $\phi (t,x)=-G\int {\frac {{}^{(0)}T^{00}(t,x')}{|x-x'|}}d^{3}x'$ と

{}^{(2)}g_{00}=-2\phi

という関係にあることを示している。同様に、アインシュタイン方程式の空間成分から ${}^{(2)}g_{ij}$ が

{}^{(2)}g_{ij}=-2\phi \delta _{ij}

と表示できることが従う^[4]。

一方、アインシュタイン方程式の $(0,i)$ 成分の最低次の項は

\nabla ^{2}{}^{(3)}g_{0i}=16\pi G{}^{(1)}T^{0i}

という方程式であり、 ${}^{(3)}g_{0i}$ はある種のベクトルポテンシャル

{}^{(3)}g_{0i}=\zeta _{i},\ \ \zeta _{i}(t,x)=-4G\int {\frac {{}^{(1)}T^{0i}(t,x')}{|x-x'|}}d^{3}x'

に等しいことが導かれる^[5]。なお $\phi$ と $\zeta _{i}$ は独立ではなく、ゲージ条件に対応する拘束条件 ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\zeta } =0$ を満足する^[6]