フレアーホモロジー

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/28 08:33 UTC 版)

ラグランジアン交叉フレアーホモロジー

シンプレクティック多様体の 2つの横断的に交差するラグラジェ部分多様体のラグラジアンフレアーホモロジーは、2つの部分多様体の交叉する点により生成される鎖複体のホモロジーで、その微分は擬正則的（英語版）なホイットニーディスク（英語版）の数を数える.

シンプレクティック多様体の3つのラグランジュ部分多様体 L₀, L₁, と L₂ が与えられると、ラグラジアンフレアーホモロジー上の積構造があり：

HF(L_{0},L_{1})\otimes HF(L_{1},L_{2})\rightarrow HF(L_{0},L_{2}),

これが正則三角形を数えることで定義される(すなわち、頂点と辺をもつ三角形の正則写像は、適当な交叉点とラグランジュ部分多様体へ写像される）。

この問題についての論文は、深谷, Oh, 小野, と太田によっていて；最近のラロンデとコルニートの｢クラスタホモロジー｣^[6]が別のアプローチを提供しています。ラグランジュ部分多様体のペアに対していつでもこの方法が適用でないが、ハミルトニアンイソトピーを使うと、この問題を解消することができる。

フレアーホモロジーのいくつかの種類は、ラグランジアンフレアーホモロジーの特別な場合である。Μ のシンプレクティック同相のシンプレクティックフレアーホモロジーは、ラグランジアンフレアーホモロジーの一種と考えることができる。そこでは、周囲の多様体が M であり M と交差し、ラグランジアン部分多様体はシンプレクティック同相の対角とグラフである。ヒーガードフレアーホモロジーは、3次元多様体のヒーガード分解を使い定義された総実部分多様体のラグランジアンフレアーホモロジーの変形を基礎としている。ザイデル・スミスとマノレスクは絡み目不変量をラグランジアンフレアーホモロジーとして構成し、コバノフホモロジーが組み合わせ的に定義された絡み目不変量に一致すると予想した。

アティヤ-フレアー予想

アティヤ-フレアー予想はインスタントンフレアーホモロジーとラグラジアン交叉フレアーホモロジーを結び付けます：曲面 $\Sigma$ に沿ってヒーガード分解（英語版）を持つ3次元多様体 Y を考えます。するとゲージ同値^[7]を法とした平坦接続の空間は、次元が6g − 6のシンプレクティック多様体である。ここの g は曲面 $\Sigma$ の種数である. ヒーガード分解では、 $\Sigma$ は2つの異なる3次元多様体の共通の境界で；境界をもった3次元多様体の上のゲージ同値を法とした平坦接続の空間 (同じことだが、各々の3次元多様体へ拡張した $\Sigma$ の上の接続の空間) が $\Sigma$ の上の接続の空間のラグランジュ部分多様体である。このようにして、これらのラグラジアンフレアーホモロジーができる。代わりに、3次元多様体 Y のインスタントンフレアーホモロジーを考えることもできる。アティヤ-フレアー予想とは、これら2つが同型であろうということを述べている。Salamon & Wehrheim (2008) はこの予想を証明するためのプログラムを提示している。

ミラー対称性との関係

マキシム・コンツェビッチの提出したホモロジカルミラー対称性予想は、カラビ-ヤウ多様体 $X$ のラグランジュ部分多様体のフレアーホモロジーと、ミラーとなっているカラビ-ヤウ多様体の上の連接層の Ext群との間の同値性を予想する。この状況下では、フレアーホモロジーではなく、フレアーチェーン群が焦点化される。同様にパンツペアの積へ、擬正則的なn-面体を使い多重な複体に構成することができる。これらの複体は $A_{\infty }$ -関係を満たし、シンプレクティック多様体の中のすべての（障害のない）ラグランジュ部分多様体のカテゴリから、 $A_{\infty }$ -カテゴリへの写像がある。これは深谷圏（英語版）と呼ばれる。

さらに詳しくは、ラグラジアンというとき、次数付きであることとspin構造をデータとして加える必要がある。これらの構造を選んだラグラジアンは、元となっている物理へ敬意を表して、メンブレーン (M-理論)（英語版）と呼ばれる。ホモロジカルミラー対称性予想は、カラビ-ヤウ多様体 $X$ の深谷圏と、ミラーペアの連接層の導来圏のDG-圏（英語版）^[8]の間に、互いに森田同値があることを言っている。

日本語化にあたっての脚注

^ コボルディズムのパンツ分解の積のことであり、位相的場の理論の公理的な取り扱いで重要な役割を果たします
^ サイバーグ・ウィッテン・ゲージ理論（英語版）
^ コーシー-リーマン方程式と擬正則曲線の定義式との関係は、古典的擬正則曲線のコーシー-リーマンの方程式との類似(Analogy with the classical Cauchy-Riemann equations)に、擬正則曲線（英語版）の記載がある。
^ 英語版では、"Floer Homology"にリンクが張られてるが記載がないので、記載のある文献を上げる。
^ 2次元平面上へ結び目を射影して、平面の上で格子を描き、格子との交点に符号を与えて、結び目不変量を求める組み合わせ的手法のこと
^ クラスタホモロジーとは、ディスクが非局所的に余次元1でバブルになるので、代数的にモデリングすることが困難になる点を、モースフローを次のように拡張することで、克服する方法です。擬正則ディスクのモジュライ空間をラグランジュ部分多様体の上のモース函数を、負のグラジエントフローまで拡張すると、クラスタ化されたモジュライ空間ができます。これらをコンパクト化すると、次数付きの可換微分代数ができ、このホモロジーがクラスタホモロジーと呼ばれている。
^ ゲージ理論。
^ DG-圏は、Differentail Graded Categoryの訳語である。
^ コンパクト化(compactification)の意味は、数学と物理（弦理論）では異なっている。ここでは、数学側の意味へリンクをはっている。物理側（特に弦理論）はコンパクト化 (物理学)である。