ソボレフ不等式 一般ソボレフ不等式

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ソボレフ不等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/21 17:29 UTC 版)

一般ソボレフ不等式

U は Rⁿ の有界開部分集合で、その境界は C¹ であるとする（U は非有界である場合もあるが、その場合の境界は存在するなら十分に良く振る舞うものである）。u ∈ W^k,p(U) を仮定し、次の二つの場合を考える。

k < n/p

この場合、u ∈ L^q(U) である。但し

${\frac {1}{q}}:={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}$

である。さらに次の評価が成り立つ。

$\|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}$

この定数 C は k, p, n と U にのみ依存する。

k > n/p

この場合、u はヘルダー空間に属する。より正確に言うと、

$u\in C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U),$

が成り立つ。ここで

$\gamma ={\begin{cases}[n/p]+1-n/p&n/p\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&n/p\in \mathbf {Z} \end{cases}}$

である。さらに次の不等式が成り立つ。

$\|u\|_{C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}.$

ここで定数 C は k, p, n, γ と U にのみ依存する。