モレーの不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/21 17:29 UTC 版)
n < p ≤ ∞ とする。このとき、p と n にのみ依存するある定数 C が存在して、すべての u ∈ C1(Rn) ∩ Lp(Rn) に対して次の不等式が成り立つ。 ‖ u ‖ C 0 , γ ( R n ) ≤ C ‖ u ‖ W 1 , p ( R n ) {\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}} ここで γ := 1 − n p {\displaystyle \gamma :=1-{\frac {n}{p}}} である。したがって u ∈ W 1,p(Rn) であるなら、測度 0 の集合上で再定義されることもあり得るが、u は指数 γ のヘルダー連続である。 同様の結果は、境界が C1 であるような有界領域 U に対しても成り立つ。この場合、 ‖ u ‖ C 0 , γ ( U ) ≤ C ‖ u ‖ W 1 , p ( U ) {\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}} となる。ここで定数 C は n, p と U に依存する。この場合の不等式は、W 1,p(U) から W 1,p(Rn) へのノルム保存拡張を行うことで、上述の不等式より従う。
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