群フォン・ノイマン環

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位相群の群環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/24 09:40 UTC 版)

数学において、局所コンパクト群の群環（ぐんかん、英: group algebra）とは、その群の表現が適当な環の表現の表現として読み替えることができるような（いくつかの）構成法が与えられたときの、その環（ふつうは作用素環あるいはもっと一般のバナハ代数）を総称して呼ぶものである。そういった環は、位相を抜きにして考えた群に対する群環と同じような働きを果たす。

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群フォン・ノイマン環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/06 07:59 UTC 版)

「フォン・ノイマン環」の記事における「群フォン・ノイマン環」の解説

G を局所コンパクト群、μ を G の右ハール測度とする。G の任意の元 g はヒルベルト空間 L2(G, μ) 上のユニタリ作用素 ug: f → f(–.g) と同一視できる。{ug | g ∈ G} を含むような L2(G, μ) 上のフォン・ノイマン環のうちで最小のものは G の群フォン・ノイマン環とよばれる。G が有限群（離散位相によってコンパクト群とみなす）のとき、G の群フォン・ノイマン環は G の（C 上の）群環 C[G] と同型になる。

群フォンノイマン環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/24 09:40 UTC 版)

「位相群の群環」の記事における「群フォンノイマン環」の解説

G の群フォンノイマン環 W∗(G) は C∗(G) の展開フォンノイマン環である。 G が離散群のときは、ヒルベルト空間 ℓ2(G) において G はその正規直交基底になる。G は ℓ2(G) に基底ベクトルの置換として作用するから、複素群環 C[G] を ℓ2(G) 上の有界作用素全体の成す多元環の部分多元環と同一視することができるが、この部分多元環の弱閉包 NG はフォンノイマン環である。 NG の中心は共軛類が有限となるような G の元を用いて記述することができる。特に、G の単位元がそのような性質を持つ唯一の元である（つまり、G が無限共軛類性質（英語版） を持つ）ならば NG の中心は単位元の複素数倍のみからなる。 NG が超有限型 II1-因子環（英語版）に同型となるための必要十分条件は、可算従順かつ無限共軛類性質を持つことである。