等方均質材料の弾性率の相関関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/11 08:29 UTC 版)
「弾性率」の記事における「等方均質材料の弾性率の相関関係」の解説
一般に、等方性物質（無定形ポリマー、非晶性・無配向ポリマーなど）では3種の弾性率（引張弾性率 E {\displaystyle E} 、剪断弾性率 G {\displaystyle G} 、体積弾性率 K {\displaystyle K} ）の関係について次式が成り立つ。 E = 2 G ( 1 − ν ) = 3 K ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle E=2G(1-\nu )=3K(1-2\nu )} ここで、 ν {\displaystyle \nu } とは、縦方向のひずみと横方向のひずみとの比(ポアソン比)である。結晶性ポリマー、繊維、フィルム、繊維充填複合材料、一般の射出成形物などは等方性物質ではない。高分子鎖、充填繊維、結晶相などに配向を持ち、その程度は内部と表面で異なる。これ異方性物質は、独立した2つ以上の弾性率を持つ。 材料が等方均質弾性材料とすると、弾性率テンソルD の独立な成分は2個まで絞られ、次式のように書ける。 D i j k l = λ δ i j δ k l + G ( δ i k δ j l + δ i l δ j k ) {\displaystyle D_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+G(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta {jk})} ここでδはクロネッカーのデルタである。 この場合、ヤング率E 、ポアソン比ν、体積弾性率K 、剛性率G 、ラメの第一定数λの5つの弾性率はそれぞれ、2つを用いて残りの3つを表すことができる。その関係を下に示す。ここで、α = (E2 + 9λ2 + 2E λ)1/2 とする。 等方均質弾性体における各弾性率間の変換式 E {\displaystyle E} （ヤング率） ν {\displaystyle \nu } （ポアソン比） K {\displaystyle K} （体積弾性率） G {\displaystyle G} （剛性率） λ {\displaystyle \lambda } （ラメの第一定数） E , ν {\displaystyle E,\nu } E {\displaystyle E} ν {\displaystyle \nu } E 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\dfrac {E}{3(1-2\nu )}}} E 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\dfrac {E}{2(1+\nu )}}} E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\dfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} E , K {\displaystyle E,K} E {\displaystyle E} 3 K − E 6 K {\displaystyle {\dfrac {3K-E}{6K}}} K {\displaystyle K} 3 K E 9 K − E {\displaystyle {\dfrac {3KE}{9K-E}}} 3 K ( 3 K − E ) 9 K − E {\displaystyle {\dfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}} E , G {\displaystyle E,G} E {\displaystyle E} E − 2 G 2 G {\displaystyle {\dfrac {E-2G}{2G}}} G E 3 ( 3 G − E ) {\displaystyle {\dfrac {GE}{3(3G-E)}}} G {\displaystyle G} G ( E − 2 G ) 3 G − E {\displaystyle {\dfrac {G(E-2G)}{3G-E}}} E , λ {\displaystyle E,\lambda } E {\displaystyle E} 2 λ E + λ + α {\displaystyle {\dfrac {2\lambda }{E+\lambda +\alpha }}} E + 3 λ + α 6 {\displaystyle {\dfrac {E+3\lambda +\alpha }{6}}} E − 3 λ + α 4 {\displaystyle {\dfrac {E-3\lambda +\alpha }{4}}} λ {\displaystyle \lambda } ν , K {\displaystyle \nu ,K} 3 K ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle 3K(1-2\nu )} ν {\displaystyle \nu } K {\displaystyle K} 3 K ( 1 − 2 ν ) 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\dfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}} 3 K ν 1 + ν {\displaystyle {\dfrac {3K\nu }{1+\nu }}} ν , G {\displaystyle \nu ,G} 2 G ( 1 + ν ) {\displaystyle 2G(1+\nu )} ν {\displaystyle \nu } 2 G ( 1 + ν ) 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\dfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}} G {\displaystyle G} 2 G ν 1 − 2 ν {\displaystyle {\dfrac {2G\nu }{1-2\nu }}} ν , λ {\displaystyle \nu ,\lambda } λ ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ν {\displaystyle {\dfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}} ν {\displaystyle \nu } λ ( 1 + ν ) 3 ν {\displaystyle {\dfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}} λ ( 1 − 2 ν ) 2 ν {\displaystyle {\dfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}} λ {\displaystyle \lambda } K , G {\displaystyle K,G} 9 K G 3 K + G {\displaystyle {\dfrac {9KG}{3K+G}}} 3 K − 2 G 6 K + 2 G {\displaystyle {\dfrac {3K-2G}{6K+2G}}} K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} K − 2 3 G {\displaystyle K-{\frac {2}{3}}G} K , λ {\displaystyle K,\lambda } 9 ( K − λ ) 3 K − λ {\displaystyle {\dfrac {9(K-\lambda )}{3K-\lambda }}} λ 3 K − λ {\displaystyle {\dfrac {\lambda }{3K-\lambda }}} K {\displaystyle K} 3 2 ( K − λ ) {\displaystyle {\frac {3}{2}}(K-\lambda )} λ {\displaystyle \lambda } G , λ {\displaystyle G,\lambda } G ( 3 λ + 2 G ) λ + G {\displaystyle {\dfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}} λ 2 λ + 2 G {\displaystyle {\dfrac {\lambda }{2\lambda +2G}}} 3 λ + 2 G 3 {\displaystyle {\dfrac {3\lambda +2G}{3}}} G {\displaystyle G} λ {\displaystyle \lambda }
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