有限型の射
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/17 03:22 UTC 版)
「体上有限生成環の理論」も参照 可換環の準同型 A → B に対し、B が A 代数として有限生成であるとき、B は 有限型（finite type）の A 代数と呼ばれる。B が A 加群として有限生成であるとき、B は 有限（finite ）A 代数と呼ばれるが、これは有限型であることよりも遥かに強い条件である。例えば、可換環 A と自然数 n に対して、多項式環 A[x1, ..., xn] は有限型の A 代数であるが、有限 A 加群となるのは A = 0 か n = 0 のときだけである。有限型ではあるが有限ではない射のもう1つの例は C [ t ] → C [ t ] [ x , y ] / ( y 2 − x 3 − t ) {\displaystyle \mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)} である。 スキーム論でこれに対応するものは次の通り。スキームの射 f: X → Y が有限型（finite type）であるとは、Y のアフィン開部分スキームによる被覆 Vi = Spec Ai が存在して、f−1(Vi) が有限個のアフィン開部分スキーム Uij = Spec Bij によって被覆され、Bij が Ai 代数として有限型であることを言う。またこのとき、X は Y 上有限型であると言う。 例えば、任意の自然数 n と体 k に対して、k 上の n 次元アフィン空間や n 次元射影空間は k 上（Spec k 上の意）有限型である。一方、n = 0 でない限り k 上有限ではない。より一般に、k 上の任意の準射影的スキーム（英語版）は k 上有限型である。 ネーターの正規化補題を幾何学的に言い換えると次のようになる。体 k 上有限型な全てのアフィン・スキーム X は、X と同じ次元 n を持つ k 上のアフィン空間 An への全射の有限射を持つ。同様に、体上の全ての射影スキーム X は、X と同じ次元 n の射影空間 Pn への全射な有限射を持つ。
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