拡張ラグランジュ関数とは？わかりやすく解説

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拡張ラグランジュ関数

読み方：かくちょうらぐらんじゅかんすう
【英】：augmented Lagrangian function

関数 $f:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,$ に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 $\bar{L}:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,$ のこと.

$\bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\} \,$

ただし, $r \,$ は正定数, $\sigma:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\bar{\mathbf{R}} \,$ は $u\neq{0} \,$ に対して $0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)} \,$ を満足する下半連続な真凸関数(例えば, $\sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2} \,$ など). 関数 $\bar{L} \,$ を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.

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