変位
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変位（へんい、英語: displacement）とは、物体の位置の変化のこと[1]。
- ^ 戸田盛和『力学』岩波書店、1982年、9頁。ISBN 4-00-007641-8。
- ^ 渋谷陽二『塑性の物理』森北出版、2011年、2頁。ISBN 978-4-627-66761-7。
- ^ 井田喜明『自然災害のシミュレーション入門』朝倉書店、2014年、13頁。ISBN 978-4-254-16068-0。
- ^ 微小変位を仮定し、空間表示と物質表示を区別せずすべての変数を小文字で表記する。
変位ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 20:47 UTC 版)
変位の記述には二つの方法がある。一つは物質表示やラグランジュ表示と呼ばれ、基準配置における位置ベクトル X を用いて物理量を表す方法である。物質表示の際に参照される座標系を物質座標系と呼ぶ。もう一つは、空間表示やオイラー表示と呼ばれ、現在配置における位置ベクトル x を用いて物理量を表す方法である。空間表示の際に参照される座標系を空間座標系と呼ぶ。連続体力学#物質表示と空間表示も参照のこと。 基準配置と現在配置における物質点 P の位置を関連付けるベクトルを変位ベクトルと呼び、物質表示では u ( X , t ) = u i e i {\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}(\mathbf {X} ,t)=u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}} 、空間表示では U ( x , t ) = U i E i {\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}(\mathbf {x} ,t)=U_{i}{\boldsymbol {E}}_{i}} と記述される。 変位場は物体の全ての物質点、全ての変位ベクトルのベクトル場であり、基準配置と現在配置を関連付ける。一般に、変位場は物質表示によって以下のように記述される。 u ( X , t ) = b ( X , t ) + x ( X , t ) − X {\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {X}},t)+{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}\qquad } または、 u i = α i J b J + x i − α i J X J {\displaystyle \qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}} また、空間表示では以下のようになる。 U ( x , t ) = b ( x , t ) + x − X ( x , t ) {\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}(\mathbf {x} ,t)={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {x}},t)+{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)\qquad } または、 U J = b J + α J i x i − X J {\displaystyle \qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,} ここで、 α J i {\displaystyle \ \alpha _{Ji}} は、物質座標系の基底 e i {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}} と空間座標系の基底 E J {\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{J}} の方向余弦であり、以下の関係が成り立つ。 E J ⋅ e i = α J i = α i J {\displaystyle \ {\boldsymbol {E}}_{J}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}} また、 u i {\displaystyle \ u_{i}} と U J {\displaystyle \ U_{J}} の関係は以下のようになる。 u i = α i J U J {\displaystyle \ u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad } または、 U J = α J i u i {\displaystyle \qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}} また、以下の関係が成り立つ。 e i = α i J E J , {\displaystyle \ {\boldsymbol {e}}_{i}=\alpha _{iJ}{\boldsymbol {E}}_{J},} u ( X , t ) = u i e i = u i ( α i J E J ) = U J E J = U ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)=u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}{\boldsymbol {E}}_{J})=U_{J}{\boldsymbol {E}}_{J}={\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)} b = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {b}}=0} の場合、物質座標系と空間座標系を組み合わせることが一般的であり、それぞれの基底の方向余弦はクロネッカーのデルタとなる。 E J ⋅ e i = δ J i = δ i J {\displaystyle \ {\boldsymbol {E}}_{J}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}} 以上より、物質座標系において以下の式が得られる。 u ( X , t ) = x ( X , t ) − X {\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}\qquad } または、 u i = x i − δ i J X J = x i − X i {\displaystyle \qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}} また、空間座標系では以下のようになる。 U ( x , t ) = x − X ( x , t ) {\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)\qquad } または、 U J = δ J i x i − X J = x J − X J {\displaystyle \qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}
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