変位ベクトルの動き
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 00:30 UTC 版)
上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、 r ¨ = x ¨ 1 − x ¨ 2 = ( F 12 m 1 − F 21 m 2 ) = ( 1 m 1 + 1 m 2 ) F 12 {\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}={\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}-{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}=\left({\frac {{\boldsymbol {F}}_{12}}{m_{1}}}-{\frac {{\boldsymbol {F}}_{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right){\boldsymbol {F}}_{12}} が得られる。ここで、 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} は、質量2から質量1への変位ベクトルである。 2つの物体に働く力は r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} の関数となり、 x 1 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}} と x 2 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}} の絶対値には関係しない。この式は次のように書ける。 μ r ¨ = F 12 ( x 1 , x 2 ) = F ( r ) {\displaystyle \mu {\ddot {\boldsymbol {r}}}={\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})} ここで μ {\displaystyle \mu } は換算質量であり、 μ = 1 1 m 1 + 1 m 2 = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} である。 x c o m ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)} と r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)} を使うと、軌跡の方程式は x 1 ( t ) = x c o m ( t ) + m 2 m 1 + m 2 r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}(t)={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)} x 2 ( t ) = x c o m ( t ) − m 1 m 1 + m 2 r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{2}(t)={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {com} }(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)} と書ける。
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