力学系における概要

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力学系における概要

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/23 09:52 UTC 版)

「安定性理論」の記事における「力学系における概要」の解説

微分方程式と力学系についての定性的理論の大部分が、解とその軌道の漸近挙動、すなわち、十分長い時間が経過した後にその系に何が起こるか、について扱っている。最も簡単な類の挙動は、平衡点や不動点、周期軌道などで表される。ある特定の軌道について様々なことが明らかにされているなら、その次の段階として、その初期条件にわずかな変化を加えたときに同様の軌道が導かれるかどうかという問題が生じることは自然である。安定性理論では、次のような問いが提起される：ある与えられた軌道に対して、その近くの軌道はずっと近くにとどまり続けるであろうか？また、より強い性質として、その軌道がその与えられた軌道へと収束するであろうか？前者のような状況では、その与えられた軌道は安定（stable）であると言われ、後者の状況では、漸近安定（asymptotically stable）あるいは吸収的（attracting）であると言われる。安定性とは、わずかな摂動に対して軌道があまりに大きく変化することはない、ということを意味する。また、その反対の状況として、十分近くの軌道がその与えられた軌道から離されるような状況も、同様に興味深いものである。一般的に、ある方向へと初期条件を摂動させた場合には軌道がその与えられた軌道へと漸近的に近付き、また別の方向へと摂動させた場合にはそれから離れる、というような結果が得られることが多い。また、摂動を加えられた軌道がより複雑な挙動を示すような場合（収束することも、完全に離れることもない）も存在し、そのような挙動に対しては安定性理論は十分な情報を提供するものではない。 安定性理論における重要なアイデアの一つに、摂動を加えられたある軌道の定性的な挙動は、その軌道の近くでの系の線型化によって解析することが出来る、というものがある。特に、n-次元位相空間を備えるある滑らかな力学系の各平衡点において、固有値がその点の近くでの解挙動を決定するようなあるn×n行列 A が存在する（ハートマン＝グロブマンの定理）。より正確に言うと、その固有値がすべて負の実数あるいは負の実部を持つ複素数である場合には、その平衡点は安定かつ吸収的な不動点となり、その点の近くの点はその点へと指数関数的な割合で収束する（リャプノフ安定および指数安定（英語版）を参照）。どの固有値も純虚数（およびゼロ）でないなら、その吸収（attracting）および反発（repelling）を決定付ける方向は、それぞれ負および正の実部を持つ固有値を備える行列 A の固有空間に関係する。より複雑な軌道に対する摂動に関しても、同様の結果が知られている。