二重階乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 19:02 UTC 版)
数学における階乗類似の組合せ論的函数の一つとして、二重階乗（にじゅうかいじょう、英: double factorial）または半階乗 (semifactorial) n!! は、与えられた自然数 n に対し、1 から n まで n と同じ偶奇性を持つものだけを全て掛けた積を言う[1]。すなわち、
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二重階乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/18 08:10 UTC 版)
詳細は「二重階乗」を参照 階乗の類似として、二重階乗 n!! は自然数 n に対し一つ飛ばしに積を取る。二重階乗 n!! は階乗 n! の二回反復合成 (n!)! とは異なる。 ( 2 n ) ! ! = ( 2 n ) ( 2 n − 2 ) ⋯ ( 2 ) = 2 n n ! {\displaystyle (2n)!!=(2n)(2n-2)\cdots (2)=2^{n}n!} ( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ( 2 n − 1 ) ⋯ ( 1 ) = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! {\displaystyle (2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)\cdots (1)={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}} 奇数 n = 1, 3, 5, 7, … に対する二重階乗の最初の方の値は 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, …, (A001147) 偶数 n = 0, 2, 4, 6, 8, … に対する二重階乗の値の最初の方は 1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, … (A000165) で与えられる。 負の奇数にも拡張される（ ( − ( 2 n + 1 ) ) ! ! = ( − 1 ) n / ( 2 n − 1 ) ! ! {\displaystyle \left(-(2n+1)\right)!!={(-1)^{n}}/{(2n-1)!!}} ）。また、複素数値への拡張として、以下が知られている。 z ! ! = 2 [ 1 + 2 z − cos ( π z ) ] / 4 π [ cos ( π z ) − 1 ] / 4 Γ ( 1 + 1 2 z ) {\displaystyle z!!={2}^{\left[1+2z-\cos(\pi z)\right]/4}{\pi }^{\left[\cos(\pi z)-1\right]/4}\Gamma \left(1+{\frac {1}{2}}z\right)}
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