ハリッシュ＝チャンドラの球函数展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/26 00:41 UTC 版)
「球函数に対するプランシュレルの定理」の記事における「ハリッシュ＝チャンドラの球函数展開」の解説
G = KAK ゆえ、G/K 上の K-不変函数は A 上の函数と同一視することができて、従ってワイル群 W の作用で不変な a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の函数と同一視することができる。特に、G/K 上のラプラス作用素 Δ は G の作用と可換であるから、Δ は a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の W-不変な二階微分作用素 L を定める。この作用素 L はラプラス作用素の球対称成分 (radial part) と呼ばれる。一般に、X が a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の元ならば、 X f ( y ) = d d t f ( y + t X ) | t = 0 {\displaystyle Xf(y)={d \over dt}f(y+tX)|_{t=0}} により、一般微分作用素（あるいはベクトル場）を定める。これらの作用素を用いて L は L = Δ a − ∑ α > 0 m α coth α A α {\displaystyle L=\Delta _{\mathfrak {a}}-\sum _{\alpha >0}m_{\alpha }\,\coth \alpha \,A_{\alpha }} という式に表すことができる。ただし、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の元 Aα は ( A α , X ) = α ( X ) {\displaystyle (A_{\alpha },X)=\alpha (X)} で定義されるものとし、また Δ a = − ∑ X i 2 {\displaystyle \Delta _{\mathfrak {a}}=-\sum X_{i}^{2}} は任意に選んだ正規直交基底 (Xi) に対応する a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上のラプラス作用素である。 以上より、 L = L 0 − ∑ α > 0 m α ( coth α − 1 ) A α , ( L 0 = Δ a − ∑ α > 0 A α ) {\displaystyle L=L_{0}-\sum _{\alpha >0}m_{\alpha }\,(\coth \alpha -1)A_{\alpha },\quad (L_{0}=\Delta _{\mathfrak {a}}-\sum _{\alpha >0}A_{\alpha })} となるから、L を定数係数作用素 L0 の摂動と見做すことができる。 いま、球函数 φλ はラプラス作用素 Δ φ λ = ( ‖ λ ‖ 2 + ‖ ρ ‖ 2 ) φ λ {\displaystyle \Delta \varphi _{\lambda }=(\|\lambda \|^{2}+\|\rho \|^{2})\varphi _{\lambda }} の固有函数、従って a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の W-不変函数と見るとき L の固有函数である。 eiλ–ρ およびその W による変換は L0 の同じ固有値に属する固有函数であるから、φλ に対する公式は、正ルートの非負整数係数線型結合全体の成す錐 Λ に関する摂動級数 f λ = e i λ − ρ ∑ μ ∈ Λ a μ ( λ ) e − μ , {\displaystyle f_{\lambda }=e^{i\lambda -\rho }\sum _{\mu \in \Lambda }a_{\mu }(\lambda )e^{-\mu },} を用いて自然に見ることができ、fλ の W による変換として書ける。表式 coth x − 1 = 2 ∑ m > 0 e − 2 m x {\displaystyle \coth x-1=2\sum _{m>0}e^{-2mx}} から係数 aμ(λ) に対する漸化式が導かれる。特に係数は一意的に決まり、級数及びその導函数は W の基本領域 a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} 上で絶対収斂する。注目すべきは、fλ が G/K 上の別の G-不変微分作用素の固有函数でもあり、何れも a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の W-不変微分作用素を導くことがわかることである。 ここから、φλ が fλ とその W による変換との線型結合 φ λ = ∑ s ∈ W c ( s λ ) f s λ {\displaystyle \varphi _{\lambda }=\sum _{s\in W}c(s\lambda )f_{s\lambda }} として表すことができることが従う。ここで c(λ) はハリッシュ＝チャンドラの c-函数である。これは、 a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} の元 X と十分大きな t < 0 に対して φ λ ( e t X ) ∼ c ( λ ) e ( i λ − ρ ) X t {\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{t}X)\sim c(\lambda )e^{(i\lambda -\rho )Xt}} なる形で φλ の a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} における漸近挙動を記述する。ハリッシュ＝チャンドラは G のブリュア分解 G = ⋃ s ∈ W B s B {\displaystyle G=\bigcup _{s\in W}BsB} を用いて φλ に、従って c(λ) に、対する二次の積分公式を得た。ただし、B = MAN で合併は非交和である。W のコクセター元、即ち a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} を − a + {\displaystyle -{\mathfrak {a}}_{+}} の上へ写す唯一の元 s0 を取ると、σ(N) が稠密開軌道 G/B = K/M でその成分が次元が真に小さく従って測度零であるような胞体の和となるようなものを持つことがわかる。これにより、もともと K/M 上で定義される φλ の積分公式 φ λ ( g ) = ∫ K / M λ ′ ( g k ) − 1 d k {\displaystyle \varphi _{\lambda }(g)=\int _{K/M}\lambda '(gk)^{-1}\,dk} を σ(N) 上の積分公式 φ λ ( e X ) = e i λ − ρ ∫ σ ( N ) λ ′ ( n ) ¯ λ ′ ( e X n e − X ) d n , ( X ∈ a ) {\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{X})=e^{i\lambda -\rho }\int _{\sigma (N)}{{\overline {\lambda '(n)}} \over \lambda '(e^{X}ne^{-X})}\,dn,\quad (X\in {\mathfrak {a}})} に引き移すことができる。 a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} の元 X に対して lim t → ∞ e t X n e − t X = 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{tX}ne^{-tX}=1} が成り立つから、φλ の漸近挙動はこの積分から読み取ることができて、公式 c ( λ ) = ∫ σ ( N ) λ ′ ( n ) ¯ d n {\displaystyle c(\lambda )=\int _{\sigma (N)}{\overline {\lambda ^{\prime }(n)}}\,dn} が導かれる。
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