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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/03 21:02 UTC 版)
単純な金属を考え、伝導電子は電子ガス模型で記述できるとする。電子間に有効的な引力 ( − g , g > 0 {\displaystyle -g,g>0} ) が存在すると考え、引力の働く状態を記述する電子ガスのハミルトニアンは、系の体積を V {\displaystyle V} として、 H = ∑ k , σ ϵ k c k σ † c k σ − g V ∑ k , k ′ , q ′ c k + q ↑ † c − k ↓ † c − k ′ ↓ c k ′ + q ↑ {\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\sigma }\epsilon _{\mathbf {k} }c_{\mathbf {k} \sigma }^{\dagger }c_{\mathbf {k} \sigma }-{g \over V}{\sum _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} ,\mathbf {q} }}'c_{\mathbf {k} +\mathbf {q} \uparrow }^{\dagger }c_{-\mathbf {k} \downarrow }^{\dagger }c_{-\mathbf {k} '\downarrow }c_{\mathbf {k} '+\mathbf {q} \uparrow }} となる。 σ {\displaystyle \sigma } はスピンの ↑ {\displaystyle \uparrow } 、 ↓ {\displaystyle \downarrow } の指標。 c † {\displaystyle c^{\dagger }} は生成演算子、 c {\displaystyle \,c} は消滅演算子である。和 ∑ ′ {\displaystyle \textstyle \sum '} は ϵ F {\displaystyle \epsilon _{F}} を挟んだ 2 ℏ w D {\displaystyle 2\hbar w_{D}} の範囲内のみで和を取ることを意味する。また、 ϵ k = ℏ 2 k 2 2 m − μ {\displaystyle \epsilon _{\mathbf {k} }={\hbar ^{2}k^{2} \over {2m}}-\mu } である（一電子状態のエネルギー←運動エネルギーの形になっている）。 m {\displaystyle m} は電子の質量、 μ {\displaystyle \mu } は化学ポテンシャルである。尚、フェルミエネルギーを ϵ F = ϵ k = 0 {\displaystyle \epsilon _{F}=\epsilon _{\mathbf {k} }=0} として、エネルギーの原点とみなす。 常伝導状態の最低エネルギー状態の波動関数、 | ϕ 0 ⟩ {\displaystyle |\phi _{0}\rangle } は、電子間に有効的な引力の働く − g {\displaystyle -g} の存在下では最早最低のエネルギー状態でなくなる。この状態（＝超伝導状態）は、以下に示す変分波動関数、 | ϕ B C S ⟩ = ∏ k ( u k + v k c − k ↓ † c k ↑ † ) | v a c u u m ⟩ {\displaystyle \left|\phi _{\rm {BCS}}\right\rangle =\prod _{\mathbf {k} }(u_{\mathbf {k} }+v_{\mathbf {k} }c_{-\mathbf {k} \downarrow }^{\dagger }c_{\mathbf {k} \uparrow }^{\dagger })\left|{\rm {vacuum}}\right\rangle } を解くことによって求められる。 | v a c u u m ⟩ {\displaystyle |\mathrm {vacuum} \rangle } は真空状態、 u k {\displaystyle u_{\mathbf {k} }} 、 v k {\displaystyle v_{\mathbf {k} }} は変分パラメータであり、 u k u k ∗ + v k v k ∗ = 1 {\displaystyle u_{\mathbf {k} }{u_{\mathbf {k} }}^{*}+v_{\mathbf {k} }{v_{\mathbf {k} }}^{*}=1} という制限が課されている。変分の結果、 g {\displaystyle g} がどんなに小さくても、 | ϕ B C S ⟩ {\displaystyle |\phi _{\mathrm {BCS} }\rangle } は、 | ϕ 0 ⟩ {\displaystyle |\phi _{0}\rangle } よりエネルギーが下がることが示せる。また u k {\displaystyle u_{\mathbf {k} }} 、 v k {\displaystyle v_{\mathbf {k} }} 全ての複素数位相は等しくなる。 尚、 ⟨ ϕ B C S | c k ↑ c − k ↓ | ϕ B C S ⟩ = u k ∗ v k ≠ 0 {\displaystyle \left\langle \phi _{\rm {BCS}}|c_{\mathbf {k} \uparrow }c_{-\mathbf {k} \downarrow }|\phi _{\rm {BCS}}\right\rangle ={u_{\mathbf {k} }}^{*}v_{\mathbf {k} }\neq 0} が超伝導状態となる条件である。
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